Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

[mheinrich]

@erna
Wofür muss man 0,000127 durch 5 geteilt werden?
Es wird hier ja nach dem Konfidenzintervall gefragt, das sich laut Skript wie oben berechnen lässt.

[erna]

Stichprobenvarianz:
s^2 = 1/(6-1) sum i = 1 bis n (xi - mittel)^2 = (1/5) * 0.000127

die benötigst du für die Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz

[dees]

Man kann den Schätzer noch etwas vereinfachen:


Mit der Konstruktion von Konfidenzintervallen für \(\mu\) mit unbekannter Varianz gilt:

\(\overline X_{(n)}-t_{n-1;1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{s^2_{(n)}}{n}} = 32,55\)
\(32,6-t_{9;1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{0,0025}{10}} = 32,55\)
\(t_{9;1-\alpha/2} = \sqrt{10} \approx 3,16\)

\(t_{9;0,995} = 3,2498 \approx 3,16\)
\(\alpha = 0,01\)

Das Konfidenzniveau ist also 0,99

Wie kommst du auf 3,16? Wenn ich nach t löse bekomme ich 6,32... , wo liegt mein Fehler?

Edit: Hat sich erledigt, hab eine Nachkommastelle vergessen.

mfG

[Firehouse]

Stichprobenvarianz:
s^2 = 1/(6-1) sum i = 1 bis n (xi - mittel)^2 = (1/5) * 0.000127

die benötigst du für die Konfidenzintervalle bei unbekannter Varianz

Wir wollen doch die Varianz rausbekommen??
Brauch die Formel für Varianz bei bekanntem Erwartungswert

[erna]

nehme alles zurück

[mheinrich]

@dees
Kleine Abkürzung: \(t = t_{9; 1-\alpha/2}\)

\(32,6 - t * \sqrt{\frac{0,0025}{10}} = 32,55\)
\(- t * \frac{0,05}{\sqrt{10}} = -0,05\)
\(t * \frac{0,05}{\sqrt{10}} = 0,05\)
\(t = 0,05 * \frac{\sqrt{10}}{0,05}\)
\(t = \sqrt{10} \approx 3,16\)

[DominikSchreiber]

Aufgabe 4 habe ich genauso.

Aufgabe 3:
wo ist das Problem?
\(L(\theta,X_1,\dots,X_n) = (\frac{3}{\sqrt{\pi}})^n * \prod_{i=0}^n(\frac{1}{x_i}) * e^{-\frac{9}{2}* \sum_{i=0}^n(\theta - ln(x_i))^2}\)

\(\frac{ln(L(\theta,X_1,\dots,X_n))}{\partial \theta} = -\frac{9}{2}* 2n\theta * \sum_{i=0}^n(-2ln(x_i))\)

\(\hat \theta = -\frac{1}{2n} * ( \sum(-2ln(x_i)))\)

Unter Vorbehalt der üblichen Rechen- und Umformungsfehler

wo verschwindet im letzten schritt denn das \(\frac{9}{2}\) hin?

[igor.a]

Noch was zur 2):

a) \(\sqrt 3\) auf jeden Fall ungeeignet, da \(f'(\sqrt 3) = 0\). Das ist problematisch, weil f'(x) im Nenner von \(s = -{f(x) \over f('x)}\)
b)
x0 = 2,5
x1 ~ 3,2051
x2 ~ 3,0181

c) Schrittweitensteuerung: \(x_{k+1} = x_k - {\bf \sigma_k} {f(x_k) \over f'(x_k)}\)

d) Nein, \(\sqrt 3\) ist nach wie vor ein Problem.

[jonas]

@DominikSchreiber: ups, da habe ich beim Abtippen einen Fehler gemacht:

Jedoch schon im Schritt davor.
Auf meinen Zettel ist es

\(\frac{ln(L(\theta,X_1,\dots,X_n))}{\partial \theta} = -\frac{9}{2}* ( 2n\theta + \sum_{i=0}^n(-2ln(x_i)))\)
Klammerung und Plus statt Mal.

Das Endergebnis bleibt gleich, war wie gesagt nur ein Fehler beim abtippen...

[_Peter_]

Aufgabe 4 habe ich genauso.

Aufgabe 3:
wo ist das Problem?
\(L(\theta,X_1,\dots,X_n) = (\frac{3}{\sqrt{\pi}})^n * \prod_{i=0}^n(\frac{1}{x_i}) * e^{-\frac{9}{2}* \sum_{i=0}^n(\theta - ln(x_i))^2}\)

\(\frac{ln(L(\theta,X_1,\dots,X_n))}{\partial \theta} = -\frac{9}{2}* 2n\theta * \sum_{i=0}^n(-2ln(x_i))\)

\(\hat \theta = -\frac{1}{2n} * ( \sum(-2ln(x_i)))\)

Unter Vorbehalt der üblichen Rechen- und Umformungsfehler

hmmm, hab da

\(\hat \theta =\sqrt{\frac{2}{9n}\cdot ln\prod_{i=1}^{n}X_{i}}\)

raus

[jonas]

Wurzel?
Wir haben in L(..) maximal \(\theta^2\) - und leiten danach ab...

Ausgehend von
\(\frac{ln(L(\theta,X_1,\dots,X_n))}{\partial \theta} = -\frac{9}{2} * ( 2n\theta + \sum_{i=0}^n(-2ln(x_i)))\)
denke ich mein \(\hat \theta\) passt. Kann aber natürlich vorher schon etwas falsch gemacht haben.

Aber wer bei der Umformerei jetzt recht hat ist denke ich für die Klausur morgen nicht wichtig, Hauptsache wir haben kapiert wie es grundsätzlich läuft


Ps: in deinem Zitat von mir ist natürlich noch der Mal statt Plus Fehler und entsprechend fehlende Klammerung, der im bisherigen Thread bereits diskutiert wurde, enthalten.

[_Peter_]

c)
Wegen der Symmetrie gilt:
\(\overline X_{(10)} = \frac{32,65 - 32,55}{2} = 32,6\)

Mit der Konstruktion von Konfidenzintervallen für \(\mu\) mit unbekannter Varianz gilt:

\(\overline X_{(n)}-t_{n-1;1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{s^2_{(n)}}{n}} = 32,55\)
\(32,6-t_{9;1-\alpha/2}*\sqrt{\frac{0,0025}{10}} = 32,55\)
\(t_{9;1-\alpha/2} = \sqrt{10} \approx 3,16\)

\(t_{9;0,995} = 3,2498 \approx 3,16\)
\(\alpha = 0,01\)

Das Konfidenzniveau ist also 0,99

Hab ich auch raus

[_Peter_]

Wurzel?
Wir haben in L(..) maximal \(\theta^2\) - und leiten danach ab...

argh... hab vergessen das quadrat rauszunehmen nachdems abgeleitet war...
denk dir die Wurzel weg^^

Aber wer bei der Umformerei jetzt recht hat ist denke ich für die Klausur morgen nicht wichtig, Hauptsache wir haben kapiert wie es grundsätzlich läuft

Das stimmt wohl, hoffentlich werden wir den Überblick behalten^^