FÜ Lösungsvorschlag

[lara]

Bei F15 ist die Gleichung in Z3 und Z5 nicht lösbar. bei Z3 habe ich nullzeile und bei Z5 sind nur alle Koeffizienten 0, aber b=4.

[p24]

Also für Z3 ist zumindestens \(x_4 = \tilde{0} , x_3 = \tilde{1} , x_2 = \tilde{1}, x_1= \tilde{0}\) eine Lösung des Gleichungssystems - ich weiß aber nicht, wie man den Lösungsraum richtige ermittelt - Kann dazu jemand was sagen?

[lara]

ok jetzt hab ich für die F15 eine Lösung für Z3: Rang(A)=3=Rang(AIb) --> also lösbar

x4 = s (da eine Nullzeile rauskommt, wird x4 einfach s gesetzt)

1 1 2 0 I 0
0 1 0 2 I 1
0 0 2 1 I 2
0 0 0 0 I 0

In Abhängigkeit von s bestimme ich x1, x2, und x3.

also:
x4 = s
x3 = 1-s/2
x2 = 1-2s
x1 = 3s-3

Lösungsmenge: s(3, -2, -1/1, 1) + (-3, 1, 1, 0)


Z5 ist meiner Meinung nach nicht lösbar, da Rang(A) = 3 und Rang(AIb) = 4 --> daher nicht lösbar!!!

[gregor]

Also für Z3 ist zumindestens \(x_4 = \tilde{0} , x_3 = \tilde{1} , x_2 = \tilde{1}, x_1= \tilde{0}\) eine Lösung des Gleichungssystems - ich weiß aber nicht, wie man den Lösungsraum richtige ermittelt - Kann dazu jemand was sagen?

ich habs ein wenig anders, nämlich wie lara: Lösungsraum würde ich folgendermaßen angeben: \(\textbf{L} = \left \{ \alpha \begin{pmatrix}
0\\
1\\
1\\
1
\end{pmatrix}+\begin{pmatrix}
0\\
1\\
1\\
0
\end{pmatrix} : \alpha \in \mathbb{Z}_3\right \}\)

[lara]

wie bestimmst du den Rang?

Außerdem verstehe ich nicht, warum du bei X1= 0 hast!

[gregor]

wie bestimmst du den Rang?

Außerdem verstehe ich nicht, warum du bei X1= 0 hast!

in Z3 ist x1 = 3 = 0.

[lara]

Ok, die 3er muss ich noch kürzen.

aber muss man den Rang nicht von der Matrix ablesen? ich habe diese Matrix rausbekommen:

1 1 2 0 I 0
0 1 0 2 I 1
0 0 2 1 I 2
0 0 0 0 I 0

Daraus se ich, dass der Rang(A) = 3 und Rang (AIb) = 2.

Hab das nicht ganz verstanden

[gregor]

sorry wegen der verwirrung. ich hatte eine falsche aufgabe wegen dem rang im kopf. du hast natürlich recht bei der aufgabe.
tut mir leid.

[tonyp]

Ok, die 3er muss ich noch kürzen.

aber muss man den Rang nicht von der Matrix ablesen? ich habe diese Matrix rausbekommen:

1 1 2 0 I 0
0 1 0 2 I 1
0 0 2 1 I 2
0 0 0 0 I 0

Daraus se ich, dass der Rang(A) = 3 und Rang (AIb) = 2.

Hab das nicht ganz verstanden

Kann der Rang bei der erweiterten Koeffizientenmatrix kleiner sein als von der Matrix?
Glaub nicht dass das geht.

Ich hätte da jetzt gesagt Rang(A) = Rang(A|b) = 3 - also der Rang als die Anzahl der linear unabhängigen Vektoren, oder hab ich n Denkfehler?

[tonyp]

und wie würdet ihr die F12 lösen - Verneinung der Aussage "In der Nacht sind alle Katzen grau" ?

[lara]

Es ist nicht der Fall, dass in der Nacht alle Katzen grau sind.

[GNut]

also das einzige, was zu beachten gilt ist eigentlich der allquantor. Der wird in einen Existenzquantor umgewandelt. Und die zu erfuellende Eigenschaft (grau) wird auch verneint.
Lautet also:
Nicht (In der Nacht sind alle Katzen grau.) = In der Nacht existiert eine Katze, die nicht grau ist.

[lara]

Ja, aber das von mir kann man auch machen.

Kann mir jemand sagen, wie ich bei F28 vorgehen muss. Ich weiß nicht, wie ich es mit vollständiger Induktion zeigen soll.

[lara]

danke, ich glaube jetzt hab ich es verstanden.

bsp. 5°322, endziffer ist 0

Muss hier nicht endziffer 5???

5*5 = 25
*5 = ...5
*5 = ...5

also nur 5 als endziffer

[GNut]

Induktionsanfang: fuer k=1 gilt es
Induktionsannahme: 8|(k^2-1) gelte fuer alle k element N und k ungerade
Induktionsschritt: (ich nehme hier k+2, da k+1 ja gerade ist)
(k+2)^2-1 = k^2 + 4k + 4 -1 = k^2 - 1 + 4(k+1) (hier hab ich einfach umsortiert und die 4 ausgeklammert)
der vordere Teil ist ja per Induktionsannahme durch 8 teilbar. Jetzt bleibt nur noch zu zeigen, dass 4(k+1) durch 8 teilbar ist. Den Teil kann man nochmal durch einen kleinen Induktionsbeweis zeigen (das geht relativ einfach) oder man nutzt aus, dass k ungerade ist. Heisst also, k+1 ist gerade und somit immer durch 2 teilbar, was wiederrum heisst, man kann eine 2 aus dem Term k+1 ausklammern und vor die Klammer ziehen. Somit ergibt ergibt 4(k+1) = 8((k+1)/2) was durch 8 teilbar ist. Und die Addition von 2 Zahlen, die durch 8 teilbar sind, ergibt eine Zahl, die ebenfalls durch 8 teilbar ist (anschaulich kann man eine 8 aus der Addition ausklammern).
Somit ist der Beweis erbracht.

edit: ja da muesste 5 als endziffer, hatte wohl nicht richtig mitgedacht ^^ Quasi 5 mal gerade zahl gibt 0 am ende, aber man multipliziert ja immer mit 5 und nicht mit dem exponent