K 17.09.08 A5 Laplace Würfel

[Diablo]

Hat die mal jemand gerechnet und kann die Ergebnisse posten.
Bei der b wissen wir gerade nicht was man überhaupt genau machen soll.

"Sei Zn die Zufallsgröße mittlere Augensumme bei n-fachem Würfel) Berechnen Sie E(Zn) und Var(Zn)"

[empe]

Zum zweiten Mal editiert: Habe die Aufgabe jetzt komplett gerechnet. Kann das jemand bestätigen?
a)
\(E(X_i) = 3.5\)
\(Var(X_i) = \frac{35}{12}\)
b)
\(E(Z_n) = 3.5\)
\(Var(Z_n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{35}{12}\)
c)
mit Tschebyschevscher Ungleichung: \(P(Z_{1000} \le 3.4) \le 0.1458\)
d)
\(P(Z_{1000} \le 3.4) \approx 0.0422\)

[alex05]

Also a) und b) hab ich genauso.

Könntest du vllt mal beschreiben, wie du auf die Lösung bei der c) gekommen bist. Ich weiß nämlich nicht so recht wie ich da die Tschebyschevsche Ungleichung reinbringen kann.

Bei der d) komm ich auf ein sehr ähnliches Ergebnis. Ich hab 0.0322. Ich das vllt ein Tippfehler?

Gruß Alex

[ami_05]

Zum zweiten Mal editiert: Habe die Aufgabe jetzt komplett gerechnet. Kann das jemand bestätigen?
a)
\(E(X_i) = 3.5\)
\(Var(X_i) = \frac{35}{12}\)
b)
\(E(Z_n) = 3.5\)
\(Var(Z_n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{35}{12}\)
c)
mit Tschebyschevscher Ungleichung: \(P(Z_{1000} \le 3.4) \le 0.1458\)
d)
\(P(Z_{1000} \le 3.4) \approx 0.0422\)

Hallo zu c) bin ich folgendermaßen vorgegangen, aber ich komme nicht auf dein Ergebniss:
\(P(Z_{1000} \le 3.4) = 1 - P(Z_{1000} \ge 3.4)= 1- P(|Z_{1000} - E(X)| \ge 3.4-3.5) \le \frac{\frac {\frac{35}{12}} {1000}}{0.1^2} \approx 0.2916\)
oder habe ich hier irgend einen Fehler gemacht????

[kned]

ohne die Aufgabe gerechnet zu haben:

P(Z <= 3.4) = 1 - P(Z > 3.4) und nicht >=

[ami_05]

ohne die Aufgabe gerechnet zu haben:

P(Z <= 3.4) = 1 - P(Z > 3.4) und nicht >=

Als Beispiel siehe Übung 12 G33) a)

oder auch Ü12 G36 c)

[robert.n]

Zum zweiten Mal editiert: Habe die Aufgabe jetzt komplett gerechnet. Kann das jemand bestätigen?
a)
\(E(X_i) = 3.5\)
\(Var(X_i) = \frac{35}{12}\)
b)
\(E(Z_n) = 3.5\)
\(Var(Z_n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{35}{12}\)
c)
mit Tschebyschevscher Ungleichung: \(P(Z_{1000} \le 3.4) \le 0.1458\)
d)
\(P(Z_{1000} \le 3.4) \approx 0.0422\)

Hallo zu c) bin ich folgendermaßen vorgegangen, aber ich komme nicht auf dein Ergebniss:
\(P(Z_{1000} \le 3.4) = 1 - P(Z_{1000} \ge 3.4)= 1- P(|Z_{1000} - E(X)| \ge 3.4-3.5) \le \frac{\frac {\frac{35}{12}} {1000}}{0.1^2} \approx 0.2916\)
oder habe ich hier irgend einen Fehler gemacht????

Ich habe es genauso gemacht und auch dasselbe raus, wie du. Also 0.2916 bzw. 7/24.

[s_n]

1-P(|X - E(X)| >= c) <= 1 - Var(X)/c^2

und nicht

1-P(|X - E(X)| >= c) <= Var(X)/c^2

oder?

es müsste also 1-0,2916 rauskommen...

[ami_05]

1-P(|X - E(X)| >= c) <= 1 - Var(X)/c^2

und nicht

1-P(|X - E(X)| >= c) <= Var(X)/c^2

oder?

es müsste also 1-0,2916 rauskommen...

ja genau das Ergebnis sollte dann 1-0,2916 sein

[tobiasp]

Zum zweiten Mal editiert: Habe die Aufgabe jetzt komplett gerechnet. Kann das jemand bestätigen?
a)
\(E(X_i) = 3.5\)
\(Var(X_i) = \frac{35}{12}\)
b)
\(E(Z_n) = 3.5\)
\(Var(Z_n) = \frac{1}{n} \cdot \frac{35}{12}\)
c)
mit Tschebyschevscher Ungleichung: \(P(Z_{1000} \le 3.4) \le 0.1458\)
d)
\(P(Z_{1000} \le 3.4) \approx 0.0422\)

Bei der c) kann man so vorgehen:

Da \(Z_{1000}\) ungefähr normalverteilt ist, ist die Verteilungsfunktion auch symmetrisch um den Erwartungswert, also \(P(Z_{1000} \le 3.4) = P(Z_{1000} \ge 3.6)\)

Damit erhält man:
\(2*P(Z_{1000} \le 3.4) = P(Z_{1000} \le 3.4) + P(Z_{1000} \ge 3.6) = P(|Z_{1000} - E(Z_{1000})| \ge 0.1) \le ...\) womit man das Ergebnis von empe bekommt.