Frage: Ü1, A1b

ykaerflila
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Frage: Ü1, A1b

Beitrag von ykaerflila »

b) Bestimmen Sie mit den Berechnungen aus a) die Bernstein-B´ezier-Darstellung von P hinsichtlich
den Parameterintervallen [0, 1], [1, 2], [0, 4] und [2, 4].
Wie kommt man auf das Ergebnis?
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thomas_kalbe
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Beitrag von thomas_kalbe »

ok, der erste Teil ist recht einfach:
Du rechnest deC. für xi =1 und erhälst damit automatisch
die BB-Darstellungen der Kurve in den Intervallen [0,1] sowie [1,2].
D.h. im Prinzip splittest Du die Kurve (hier) in der Mitte und erhälst zwei
neue BB-Kurven.
Das Bildchen verdeutlicht das:
die eine Kurve ist definiert durch b_30^[0], b_10^[1], b_10^[2] sowie
b_00^[3], (wobei ich hier grad einen Tipfehler finde: in der Abb. steht
fälschlich b_10^[3], richtig wäre b_00^[3] )
die zweite Kurve durch b_00^[3], b_01^[2], b_02^[1] und b_03^[0].

Zufällig sind dies grad die b_ij^[k] aus dem Schema, oberste und unterste Zeile
des Dreiecks.

Beim b)-Teil werden dieselben Koeffizienten genommen (natürlich bez. des deC. für xi = 4,
also aus dem anderen Dreiecksschema).
Das Intervall [0,4] ist klar und wie oben: deC. liefert die Darstellung bezüglich
des neuen Intervalls. Wieso die untere Zeile aus dem Schema
aber der Darstellung bez. [2,4] entspricht, ist mir grad leider
auch nicht klar.
Wer weiss es? Sieht man es vielleicht an der Zeichnung (wobei hier
wieder b_00^[3] anstatt b_10^[3] stehen müsste)? Daniel, was meinst Du dazu?

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skywalker
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Beitrag von skywalker »

Das würde mich auch mal interessieren, außerdem eine Frage zur 1c:
Für die Ableitungen wird mit 3/2 bzw. 3/4 multipliziert. Allerdings ist das Betrachtungsintervall in diesem Fall [a,b] = [1,2] und damit müsste sich z.B. für die erste Ableitung doch mit q!/(q-l)! * 1/(b-a)^l = 3/1 und nicht 2 im Nenner ergeben, oder hab ich da was falsch verstanden?

Gruß

thomas_kalbe
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Beitrag von thomas_kalbe »

ja Du hast Recht -- die 3/2 vor der ersten Ableitung stimmen nicht.
Es müsste 3 heissen. Sorry (dafür sind's ja Lösungsvorschläge...)!
Werde das mal diskutieren und evtl. dann verbesserung posten.

Daniel Weber
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Beitrag von Daniel Weber »

Hiho!

Also: Natürlich muss in der Zeichnung b_00[3] statt b_10[3] stehen.

Bei der Musterlösung zur 1b) ist ein kleiner fehler unterlaufen... die Koeffizienten müssten bzgl. des Parameterintervalls [2,4] (0,0) (-2, -1/2) (-6,2) (-12, 10) sein; also beim 2ten Koeffizienten ein -1/2 statt einer 0 in der y-Komponente.

Wie kommt man nun darauf ...
Man hat ja die BB-Kurve bzgl. [0,4] gegeben. Diese wertet man mit deC an der stelle 2 aus und kann aus dem entstehenden Dreiecksschema unten die neuen Koeffizienten bestimmen ... einfach mal ausprobieren ;)

Um die Ableitung kümmer ich mich jetzt ...

Daniel Weber
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Beitrag von Daniel Weber »

Also zur Ableitung:

Ihr hab natürlich beide Recht. Es muss in der ersten Ableitung 3 * ... heissen.

Zu beachten ist aber folgendes:
Ist die Kurve aus dieser Übung bzgl. [0,1] bzw. [0,2] parametrisiert, so ergibt sich an der Stelle (0.5) bzw. (1) die Ableitung (0, -3) bzw. (0, -3/2).

Viel Erfolg beim Lernen

ykaerflila
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Beitrag von ykaerflila »

Um noch einmal meine Frage aufzugreifen, die zugegebener Maßen etwas knapp formuliert war:

In der Teilaufgabe 1b) sollen wir die BB-Darstellung bezüglich [0,1], [1,2], [0,4] und [2,4] angeben. [0,1] und [1,2] kann ich noch nachvollziehen, da ich hier offensichtlich das Intervall [0,2] splitte (wie auch schon von Thomas oben gesagt).
Nun habe ich ein Problem mit den Intervallen [0,4] und [2,4], die ja "außerhalb" des ursprünglichen Intervalls liegen.
Laut Script vollzieht deC 2 volle Basiswechsel hinsichtlich [a,E] und [E,b]... das Intervall [2,4] tanz da doch etwas aus der Reihe?!
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thomas_kalbe
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Beitrag von thomas_kalbe »

das passt eigentlich auch zusammen:

1. kannst Du auch ausserhalb des Intervalls [a,b] deCasteljau anwenden,
das nennt man dann Extrapolation (siehe der andere thread von gestern oder
vorgestern). Du brauchst halt die richtigen barycentrischen Koordinaten lambda_0
und lambda_2, aber danach hattest Du nicht gefragt?

2. Da E dann hier 4 ist, erhälst Du also 2 Darstellungen der Kurve,
einmal bezüglich [a,E] = 0,4 und das andere mal bezüglich [E,b] = [4,2]
(was einfach die Kurve bezüglich [2,4] ist, nur andersherum parametrisiert.
Bei einer Bezierkurve kann auch a > b sein, dann läuft sie halt von rechts nach
links. Nach einer Vertauschung der Bernsteinpolynome erhält man dann
die Kurve bezüglich [2,4]).
Schau vielleicht bezüglich der Aufgabe auch mal ins Errata zum Übungsblatt hier im Forum.

ykaerflila
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Beitrag von ykaerflila »

thomas_kalbe hat geschrieben:das passt eigentlich auch zusammen:
2. Da E dann hier 4 ist, erhälst Du also 2 Darstellungen der Kurve,
einmal bezüglich [a,E] = 0,4 und das andere mal bezüglich [E,b] = [4,2]
(was einfach die Kurve bezüglich [2,4] ist, nur andersherum parametrisiert.
Bei einer Bezierkurve kann auch a > b sein, dann läuft sie halt von rechts nach
links. Nach einer Vertauschung der Bernsteinpolynome erhält man dann
die Kurve bezüglich [2,4]).
Super! Diese Erläuterung hat mir sehr geholfen!! Danke :)
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ykaerflila
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Beitrag von ykaerflila »

skywalker hat geschrieben:Das würde mich auch mal interessieren, außerdem eine Frage zur 1c:
Für die Ableitungen wird mit 3/2 bzw. 3/4 multipliziert. Allerdings ist das Betrachtungsintervall in diesem Fall [a,b] = [1,2] und damit müsste sich z.B. für die erste Ableitung doch mit q!/(q-l)! * 1/(b-a)^l = 3/1 und nicht 2 im Nenner ergeben, oder hab ich da was falsch verstanden?

Gruß
Woher nehmt Ihr diese Koeffizienten?? Laut Folie "lecture2" Seiten 31-32 müsste das alles doch ganz anders aussehen...!?
Ich komme auf folgende Ergebnisse bzgl. [1,2]:
P(1) = ( 3/2 1 )
P'(1) = ( 3! / 2! ) * ( 0 -1/2 ) = ( 0 -3/2 )
P''(1) = ( 3! / 1! ) * ( -1/2 0 ) = ( -3 0 )
P'''(1) = (3! / 0! ) * ( 0 3 ) = ( 0 3 )

und bzgl. [4,0]:
P(4) = ( -12 10 )
P'(4) = ( 3! / 2! ) * ( 1/(-4)^1 ) * ( 12 -16 ) = ( -9 12 )
P''(4) = ( 3! / 1! ) * ( 1/(-4)^2 ) * ( -8 24 ) = ( -3 9 )
P'''(4) = (0 3) /* EDITED!! (nachgerechnet) */

Was mache ich falsch?

Und was ist mit "Um diese Formeln nun hinsichtlich verwenden zu können müssen wir jedoch ein geeignetes
Parameterintervall aus Aufgabenteil b) wählen." gemeint? Wie entscheide ich welches Intervall geeignet ist?
Zuletzt geändert von ykaerflila am 14. Jul 2007 22:41, insgesamt 1-mal geändert.
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thomas_kalbe
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Beitrag von thomas_kalbe »

mit "geeignetes Parameterintervall" ist gemeint, dass die hier benutzte Formel
ein Spezialfall der Ableitung ist, nämlich im Punkt a aus [a,b].
Das ist auch genau die Formel aus den Folien.
Wir nehmen die Darstellung bez. [1,2], da hier zufällig a = 1 = \xi.
Die Vorfaktoren stimmen nur leider gar nicht.
Also noch mal langsam (alle mitrechnen!):
1/(b-a)^l ist immer 1, da b-a = 2-1=1.

q!/(q-l)! ist, für l = 1 (1. Ableitung), 3*2/(3-1) = 3.
Die beiden Binomialkoeffizienten 1 über 0 und 1 über 1 sind beide 1.
Nun die (-1)^l-k und die b_q-k,k:
-1 ^ (1-0) ist -1, für b_3-0,0 = b30,
-1 ^(1-1) ist 1 für b_3-1,1 = b21.
Also:
P'(a) = 3*(b21 - b30).
(was übereinstimmt mit der Tatsache, dass die Bezier-Kurve im
Anfangs- und Endpunkt tangential mit dem Kontrollpolygon ist!)

2. Ableitung:
3!/(3-2)! ist 3! = 6.
Die drei Binomialkoeffizienten:
2 über 0 = 1
2 über 1 = 2
2 über 2 = 1
Die (-1)^l-k, b_q-k,k:
-1^(2-0) = 1, für b_3-0,0 = b30
-1^(2-1) = -1, für b_3-1,1 = b21
-1^(2-2) = 1, für b_3-2,2 = b12
Also:

P''(a) = 6*(b12 - 2*b21 + b30)

Die 3. Ableitung:
3!/(3-3)! = 3!/0! = 6
Binomialkoeffizienten:
3 über 0 = 1
3 über 1 = 3
3 über 2 = 3
3 über 3 = 1
Die (-1)^l-k, b_q-k,k:
-1^(3-0) = -1, b_3-0,0 = b30
-1^(3-1) = 1, b_3-1,1 = b21
-1^(3-2) = -1, b_3-2,2 = b12
-1^(3-3) = 1, b_3-3,3 = b03
Also
P'''(a) = 6*(b03 - 3*b12 + 3*b21 - b30)

Die Formeln stimmen also, bis auf die Vorfaktoren, die sind in der Musterlösung
(besser: "Lösungsvorschlag"), leider, total falsch.
Die entsprechenden Koeffizienten in BB_2 eingesetzt sollten dann die richtigen
Ableitungen ergeben. Aber das rechne ich jetzt nicht mehr.
gruss,
thomas

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Beitrag von ykaerflila »

Hat sonst noch jemand selber nachgerechnet und kann meine Ergebnisse bestätigen?
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Beitrag von Dr.Cool »

Nochmal zur 1 b), BB-Darstellung bzgl. [2, 4]:

in den Errata zur Musterlösung steht
1b)
BB_4: P(xi) = (0,0)^T*B_30(xi) + (-2,-1/2)^T*B_21(xi) + (-6, 2)^T*B_12(xi) + (12,10)^T*B_03(xi), xi in [2,4]
ich komme aber sowohl mit der direkten Formel zum Basiswechsel, als auch mit der anschaulichen Bestimmung mittels Dreieckschema auf die ursprünglichen Werte der Musterlösung an dieser Stelle, nämlich

BB_4: P(xi) = (0,0)^T*B_30(xi) + (-2,0)^T*B_21(xi) + (-6, 2)^T*B_12(xi) + (-12,10)^T*B_03(xi), xi in [2,4]
Zumindest der letzte Kontrollpunkt macht mit [-12;10] auch mehr Sinn als [12;10], da der interpoliert werden muss.

Edit:
Hat sonst noch jemand selber nachgerechnet und kann meine Ergebnisse bestätigen?
Ich kann deine Ergebnisse bestätigen bis auf P''' (4): [0; +3]
Ich hab jeweils den gleichen Restterm wie in der MuLö, allerdings andere Vorfaktoren:
Für P' -3/4, P'' +3/8, P''' -3/32.
Die für P' und P''' sind bei mir negativ, weil wir das Intervall [4, 0] betrachten und der Term (b-a)^l = (0-4)^l = (-4)^l im Nenner auftritt.
Zuletzt geändert von Dr.Cool am 14. Jul 2007 21:49, insgesamt 1-mal geändert.

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Beitrag von Dr.Cool »

Kann da bitte nochmal jemand von den Betreuern Stellung nehmen ?

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Beitrag von ykaerflila »

Hey Doc!

Habe noch einmal nachgerechnet!

Hatte ein Vorzeichenfehler. Das Ergebnis ist bei mir auch (0 3)!
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