C1 Ringe

Ambush
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C1 Ringe

Beitrag von Ambush »

Hallo,

ich musste gerade erkennen, dass ich wohl die C1 Bedingung der Splines auf Triangulierungen doch noch nicht ganz verstanden habe.
Auf Foliensatz 9 Folie 42 (im pdf: Folie 54) wird dargestellt, dass bei Bestimmung einer der beiden Punkte im markierten C1 Ring, der letzte Punkt des C1 Rings auch definiert ist und zusätzlich alle b111 (also die Mittelpunkte der fünf Dreiecke) definiert sind.
Die Aufgabe 4 Übung 4 ist mir eigentlich klar. Dass in C1 Ringen, 3 Punkte den vierten definieren (damit die Kanten glatt sind) ist mir auch klar.
Aber wieso sind den nun alle b111 definiert ?? :?:
Für mich sieht es so aus als wären, nach dem Festlegen des markierten C1 Ringes, bei allen C1 Ringen auf denen die b111 Punkte liegen nur 2 der 4 Koeffizienten definiert.
Man müsste also noch einen der b111 definieren, welcher dann über die C1 Ringe alle anderen definieren würde.

Kann mir jemand helfen?

thomas_kalbe
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Re: C1 Ringe

Beitrag von thomas_kalbe »

man kann es, denke ich, so einsehen:

lege einen beliebigen b111-Koeffizient auf einem der Dreiecke, die nicht mit dem markierten C1-Ring in Verbindung stehen, fest.
Da ja schon über jede innere Kante zwei Koeffizienten festgelegt sind, sind damit dann auch die Nachbar-b111 über die beiden Kanten festgelegt.
Das ergibt dann einen Ringschluss, wodurch dann die b111-Koeffizienten der beiden Dreiecke, die den markierten C1-Ring beinhalten, ebenfalls festgelegt sind!
Ja, und dann ist natürlich der Kantenkoeffizient auf dem markierten C1-Ring ebenfalls festgelegt, somit dann der gesamte C1-Ring.
Dass "andersherum" dasselbe passiert (d.h. lege einen fehlenden Koeffizienten auf dem C1-Ring fest, somit sind ALLE verbleibenden bestimmt), ist etwas schwieriger einzusehen,
hängt aber direkt damit zusammen.
Man sollte das "extrem komplex" auf der Folie ernst nehmen. Das ist zudem eines der einfachsten Beispiele, um die Problematik allgemein einzusehen.
Es gibt noch viel irrere Beispiele, die man dann nur über "versteckte Bedingung" und "periodische Splines" erklären kann ... probier' auch mal das Alfeld-Applet aus,
da passieren seltsame Dinge ... (denke aber nicht zu lange darüber nach :-) ).

Was man machen kann, es gibt grob gesagt 4 Möglichkeiten:

-- man gibt C1-Stetigkeit auf, baut dafür vielleicht einen Super-Spline, der nur C1 in den Eckpunkten ist und macht ein separates Normalenmodell (PN-Triangles)
-- man verwendet einen höheren Polynomgrad, hat dann aber das Problem, fehlende Daten zu schätzen (zweite Ableitungen, etc.)
-- Zurückgreifen auf Splits, die die Lokalität aufheben (Powel-Sabin, Clough-Tocher sind die klassischen Beispiele)
-- man beschränkt sich auf uniforme Partitionen, und hofft, dass man einen stabilen Operator definieren kann, der die Daten vernünftig approximiert.
C1-Bedingungen vereinfachen sich in diesen Fällen, da einige (bzw. eine) der baryzentrischen Koordinaten 0 sind (Teil meiner Promotion :-) ).

Was bedeutet das für die Klausur? Nun, man sollte sich der Problematik allgemein bewusst werden, und mit C1-Bedingungen umgehen können.
Dass man die Problematik im Detail verstanden hat (periodische Splines, weshalb kommt es wo zu versteckten Bedingungen, ...) verlangen wir nicht, war ja auch nicht Thema der VL.

Das Bild auf S. 42 soll als Erläuterung dienen, wieso PN-Triangles nicht überall C1 sind (sein können), und wieso man Clough-Tocher etc. überhaupt benötigt.

grüße,
thomas

ps.: "ich musste gerade erkennen, dass ich wohl die C1 Bedingung der Splines auf Triangulierungen doch noch nicht ganz verstanden habe."
Keine Sorge, es gibt auf der Welt wohl nur eine handvoll Leute, die das komplett verstanden haben ...

thomas_kalbe
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Re: C1 Ringe

Beitrag von thomas_kalbe »

äh, ich meinte

-- Zurückgreifen auf Splits, die die Abhängigkeiten (teilweise) aufheben, also eine lokale Methode ermöglichen (Powel-Sabin, Clough-Tocher sind die klassischen Beispiele)

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