3. Übung

andy-held
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3. Übung

Beitrag von andy-held »

Müsste bei Aufgabe 2c nicht eigentlich stehen:
\(\tilde f(g^{-1}(x))=f(x))\)
?
Woran faileds denn?

thomas_kalbe
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Re: 3. Übung

Beitrag von thomas_kalbe »

was wir vergessen hatten zu erwähnen : die Beziehung gilt für implizite Funktionen R^n --> R.
Dann passt's:

nehmen wir die Gerade mit Steigung 1 durch den Nullpunkt (zur Sicherheit beschränken wir uns auf x >= 0, sollte aber auch allgemein gelten),
implizit gegeben durch die Nullstellenmenge

f(x,y) = x - y = 0

Wir haben dann f(0,0) = 0, und f(1,1) = 0 (z.B.)

Und als Transformation nehmen wir einfach eine Verschiebung in y-Richtung um 1: g(x,y) = (x, y+1) (g ist Funktion vom R^n nach R^n)

Dann muss für eine so transformierte Funktion tilde f gelten: tilde f(g(x,y)) = tilde f(x,y+1) = f(x,y), also z.B.
tilde f(0,1) = f(0,0),
tilde f(1,2) = f(1,1)

(tilde f ist die Gerade mit Steigung 1 durch den Punkt 0,1).

grüße,
thomas

andy-held
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Re: 3. Übung

Beitrag von andy-held »

stimmt, das gilt ja nur für \(R^{n} \rightarrow R^{n}\)
Woran faileds denn?

MatthiasBein
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Re: 3. Übung

Beitrag von MatthiasBein »

Hallo,

eigentlich gilt es für jede Art von Funktion und Transformation, solange diese invertierbar ist.

Salop gesagt bedeutet die Gleichung, dass wenn eine transformierte Funktion mit transformierten Parameter ausgewertet wird, so ist das identisch zum Auswerten der nicht-transformierten Funktion mit nicht-transformierten Parameter.

z.B.: sei gegeben: die funktionale Gerade \(f(x) = x + 1\), also eine um 1 nach links verschobene Gerade mit Steigung 1, mit Transformation um 2 nach Rechts \(g(x) = x + 2\).
Die transformierte Gerade ist also eine um 1 nach rechts verschobene Gerade: \(\tilde f(x) = x - 1\)
Nun kann die Gleichung überprüft werden: \(\tilde f(g(x)) = \tilde f(x+2) = (x + 2) - 1 = x + 1 = f(x)\)

Oft wird aber auch anders gedacht: eine transformierte Funktion auswerten ist identisch zum Auswerten der nicht-transformierten Funktion mit invers transformierten Parameter, also
\(\tilde f(x) = f(g^{-1}(x))\)
Also im unseren Fall, um f(x) um 2 nach rechts zu verschieben, muss ich die inverse Transformation (x-2) auf den Parameter der Funktion anwenden und erlange \(\tilde f(x) = f(x-2) = (x-2) + 1 = x - 1\), was ebenfalls korrekt ist.

Gruß,
Matthias

thomas_kalbe
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Re: 3. Übung

Beitrag von thomas_kalbe »

ja, stimmt. Danke Matthias.

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