Theorie 3 Aufgabe 4b) und 5b)

[TuxedoMask2002]

Was genau sollte hier gemacht werden? Weil das was wir gemacht haben gab 0 Punkte. Verstehe die Frage irgendwie auch nicht wirklich worauf die abzielt.

[TuxedoMask2002]

Und noch zur 5b) des selben Blattes:
Hätte man das errechnen/beweisen sollen oder war erwartet das in der Literatur nachzuschlagen?

[Ronny]

Bei Aufgabe 4 b) sollte man die fünf platonischen Körper mit Hilfe der Euler-Formel bestimmen. Ein platonischen Körper ist dadurch definiert, dass alle Facetten die gleiche Anzahl von Kanten besitzen und von jedem Knoten gleich viele Kanten ausgehen. Diese Eigenschaften kann man in Formeln ausdrücken und in die Euler-Formel einsetzen. Nach Umformungen und kleinen Überlegungen kommt man zu dem Schluss, dass es nur fünf platonischen Körper gibt, und wieviele Ecken und so die einzelnen haben.
Es ging nicht darum die Körper schon zu kennen und zu zeigen, dass die Euler-Formel für sie gilt.
Es stand schliesslich explizit "bestimmen sie" in der Aufgabe.

Bei Aufgabe 5 b) ging es tatsächlich eher um eine Recherche.

[thomas_kalbe]

Danke Ronny. Du warst schneller.
Nochmal ausführlich:
in 4b) war zu zeigen, wie sich die Platonischen Körper mittels der Eulerformel(n) herleiten lassen.
Ihr habt einfach nur die Kanten/Vertices/Faces der Körper in die Formel eingesetzt und es kam immer 2 raus...

Also: sei a die Anzahl der Kanten pro Fläche, b die Anzahl der Kanten pro Knoten, und v e und f die Anzahl der Knoten, Kanten und Faces.

Dann gilt af = 2e, da jede Kante zu 2 Facetten gehört, bv = 2e, da jede Kante zwei Knoten besitzt.
Weiterhin gilt v- e + f = 2 (Eulerformel).

Jetzt können wir in die Eulerformel die anderen beiden einsetzen und erhalten eine Formel für e:
2e/b - e + 2e/a = 2,
und teilen durch 2e:
1/a + 1/b - 1/2 = 1/e

Wir argumentieren, dass a und b > 2 sein müssen, da keine Fläche mit 2 Knoten und / oder 2 Kanten existiert.
Weiterhin muss a und b < 6 sein da ansonsten 1/e kleiner 0 -- was nichtgeht, denn sonst hätten wir negative Anzahl der Kanten.

Als ganzzahlige Lösung für die Gleichung erhalten wir

Tetraeder: a = 3, b=3, e=6
Quader: a=4, b=3, e =12
Okateder: a=3,b=4,e = ...
Ikosaeder: a=3, b=5, e= ...
Dodekaeder: a=5,b=3, e= ...

Zugegeben, etwas fies, aber machbar. Eine Gruppe hatte auch eine Alternativlösung, die vielleicht intuitiver ist?
Möchtet ihr die noch posten?
Beweise dieser Schwierigkeit kommen auch eher nicht in der Klausur.


Ja, und bei 5b) musste man etwas nachforschen (google sollte genügen). Es hält sich aber noch hartnäckig die Falschinformation, dass Loop im Limit
auf einen quadratischen Spline konvergiert -- das ist falsch, es ist ein quartischer.

gruss,
thomas

[TuxedoMask2002]

Okay danke, dann lass ich mir die 4b) jetzt nochmal durch den Kopf gehen.

Ja für die 5b) hatte ich das mit quartisch gefunden. Wollte nur sichergehen, dass nicht erwartet wird, dass man an dem Punkteerzeugungsschema irgendwie erkennt, gegen was das konvergiert.

Grüße
Michael

EDIT
Ja also die 4b) kann ich so nachvollziehen, obwohl ich zugeben muss dass ich da sicher nicht alleine drauf gekommen wäre. Allein schon, weil mir nicht wirklich klar war, was die Aufgabe von mir wollte ^^