Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

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Ronny
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Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von Ronny »

Das 5. und letzte Theorie Übungsblatt ist jetzt online.

jno
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Re: Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von jno »

Kann mir bitte jemand mal Folie 8 in cg2_points erklären? Die vorige ist mir klar, es geht darum Punkte mit Hilfe von radialen Basisfunktionen zu interpolieren, Dazu wählt man t_i als x-Werte der Punkte und w_i so, dass die Punkte interpoliert werden. Das ist ja eigentlich recht ähnlich wie die LaGrange-Interpolation. Hoffe bis hierhin hab ich das richtig verstanden?
Zur nächsten Folie kann ich allerdings keinen Zusammenhang herstellen. Was genau ist jetzt p_j und warum ist es nicht mehr von u sondern t_i abhängig?

EDIT: Hmm, ich glaube jetzt hab ich die Folie 8 verstanden. Geht es da einfach nur drum, EINEN Punkt zu interpolieren, dessen Koordinaten eben die \(p_j\) sind? Und \(t_i\) sind quasi einfach nur die Parameterwerte der resultierenden Kurve und können wieder mehr oder weniger beliebig (zum Beispiel äquidistant, wie in Aufgabe 1 auf T5) gewählt werden? Stimmt das jetzt so?

thomas_kalbe
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Re: Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von thomas_kalbe »

Nein, Dein Zusatz war leider total falsch.

Eine radiale Basisfunktion für einen beliebigen Punkt p_i ist definiert als
phi (x) = phi ( || p_i - x || ) -- die Form der Funktion phi ist zunächst mal egal.
Und x ist ein beliebiger (anderer) Punkt. In der Regel ist phi so gewählt, dass der Wert der
Funktion mit zunehmenden Abstand kleiner wird.

Der Funktionsapproximator für n Punkte p_i ist die gewichtete Summe dieser Funktionen:

p(x) = sum_i^n w_i phi(|| x - p_i || )

( || x - p_i || = || p_i - x || )

Die p_i kennen wir, gesucht sind geeignete Gewichte w_i.

Um diese zu bestimmen, setzt man das Gleichungssystem auf S. 8 zusammen.
Das ist tatsächlich so ähnlich wie bei Lagrange, aber dort muss man kein Gleichungssystem lösen.
Also, gefordert ist dass die Funktion p die Punkte p_i interpoliert, wenn als Argument einer der Punkte eingesetzt wird.
In der Diagonale steht immer r(0) (bzw. phi(0), die Notation ist hier nicht konsistent),
da für p p_i eingesetzt wird ( t_i = p_i ) und damit

phi ( p_i - p_i ) = phi(0).

Also, was in dem tollen Wikipediaartikel mit x und c_i betitelt ist, heisst auf Folie 7 dann
u und t_i. Für das Gleichungssystem ergibt sich dann immer t_j für die u.
Sorry, und ich habe die Punkte nun p_i genannt, finde ich klarer.

gruss,
thomas

jno
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Re: Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von jno »

Also sind die \(p_i\) in dem Vektor des Gleichungsystems auf Folie 8 Punkte? Hieße das dann das z.B. für 2-D Punkte
\(\begin{pmatrix} p_0 \\ p_1 \\ p_2 \\ \vdots \end{pmatrix}\) eigentlich \(\begin{pmatrix} \begin{pmatrix} p_0_x \\p_0_y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}p_1_x \\p_1_y\end{pmatrix} \\ \begin{pmatrix}p_2_x \\ p_2_y\end{pmatrix} \\ \vdots \end{pmatrix}\) heißen müsste?

thomas_kalbe
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Re: Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von thomas_kalbe »

ja.
Wobei die t_i den p_i entsprechen sollten -- weiss auch nicht, wieso auf den Folien
unterschiedliche Bezeichnungen stehen...

gruss,
thomas

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Re: Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von TuxedoMask2002 »

Wird es zu Blatt 5 ne Musterlösung geben? Das kam für mich in der Vorlesung gestern nicht so 100%-ig raus. Weil die ersten beiden Aufgaben raff ich auch nach Lesen dieses Themas hier nicht :(
Der Neodarwinismus hat an die Stelle eines göttlichen Schöpfers lediglich den Gott Zufall gesetzt, der ebenso allmächtig, allwissend und allgegenwärtig ist.
F. Schmidt, BIOLOGIE HEUTE August 1989

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Re: Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von Tiger80 »

hallo,
Wobei die t_i den p_i entsprechen sollten -- weiss auch nicht, wieso auf den Folien
unterschiedliche Bezeichnungen stehen...
wollte fragen ob diese notation richtig wäre :
für gegebenen \(P_i \in \mathbb{R}^3 \\) und äquidistandten Parameterwerten \(t_i\in \mathbb{N}, i\in \{1,2,\cdots, n\}\)

\(\begin{pmatrix} h(0) & h(1) & \cdots & h(n-1) \\ h(1) & h(0) & \cdots & h(n-2) \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ h(n-1) & h(n-2) & \cdots & h(0) \\ \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} w_{0x} & w_{0y} & w_{0z} \\ w_{1x} & w_{1y} & w_{1z} \\ \vdots & \vdots &\vdots\\ w_{(n-1)x} & w_{(n-1)y}& w_{(n-1)z} \\ \end{pmatrix}\)\(= \begin{pmatrix} P_{0x} & P_{0y} & P_{0z} \\ P_{1x} & P_{1y} & P_{1z} \\ \vdots & \vdots &\vdots\\ P_{(n-1)x} & P_{(n-1)y}& P_{(n-1)z } \\ \end{pmatrix}\)
und so bestimme ich dann die Gewichte für die jeweiligen Koordinaten.
Gruss

thomas_kalbe
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Re: Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von thomas_kalbe »

Bei der Frage zu den radialen
Basisfunktionen, gibt es ja eine
ganze Reihe von unterschiedlichen
Interpretationen.
Bevor wir da weiter zur Verwirrung beitragen,
würde ich vorschlagen,
daß Du den Studenten schreibst, daß die
Frage nicht klausurrelevant
ist, damit sie sich wegen der Aufgabe
so kurz vor der Klausur
keinen Streß machen.

jno
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Re: Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von jno »

Kann mir jemand die Aufgabe 2 erklären? Wie ich eine Kurve in eine Punktemenge in der Ebene fitte, hab ich jetzt einigermaßen verstanden. Mit der Ebene müsste das ja so ähnlich gehen, wie das Beispiel im Script wo ein bivariates Polynom gefittet wird oder? Aber irgendwie scheitere ich trotzdem dran. Ich bin mir auch nicht sicher, was für eine Ebenengleichung ich verwenden soll, müsste eigentlich mit der parametrischen gehen oder?

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TuxedoMask2002
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Re: Übungsblatt T5 jetzt verfügbar

Beitrag von TuxedoMask2002 »

Stehe vor dem selben Problem.
Der Neodarwinismus hat an die Stelle eines göttlichen Schöpfers lediglich den Gott Zufall gesetzt, der ebenso allmächtig, allwissend und allgegenwärtig ist.
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