Einheitsvektoren von Achsen

jebediah
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Einheitsvektoren von Achsen

Beitrag von jebediah »

Hi,

ich habe zwei Fragen bezüglich der Einheitsvektoren \(e_{z-1}\) bei der Berechnung des Winkelgeschwindigkeitsvektors \({}^0\omega_n(t)\) sowie \({}^ie_{z-1}\) bei Newton-Euler.

1) \({}^0e_{z_i}\) ist doch, wenn nach DH-Konvention konstruiert, die 3. Spalte der Transformationsmatrix \({}^{0}T_i\) (Script S. 64) und stellt den normierten Einheitsvektor von \(S_i\) in \(S_0\) dar, (sprich die "Lage" der Z-Achse von \(S_1\) von \(S_0\) aus gesehen) richtig? Kann ich verallgemeinernd dann sagen, dass \({}^me_{z_i} = {}^{m}T_i * \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}^T\) also die 3. Spalte der Transformationsmatrix von \(m\) nach \(i\)?

2) Kann ich daraus schließen, dass \({}^ie_{z_i} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}^T\), also das der Einheitsvektor Z eines Koordinatensystems von sich aus gesehen immer entlang der Z-Achse liegt?

Vielen Dank,
Tobi
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acerberus
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Re: Einheitsvektoren von Achsen

Beitrag von acerberus »

Hallo Tobi,

ich würde sagen in beiden Fällen ja. Die Transformationsmatrix \({}^m\!T_i\) enthält ja in den ersten drei Spalten die zugehörige Rotationsmatrix \({}^m\!R_i\) und diese besteht aus den Spalten \({}^m\!{e_x}_i\), \({}^m\!{e_y}_i\) und \({}^m\!{e_z}_i\), also den Einheitsvektoren von \(S_i\) mit der gleichen Orientierung wie \(S_m\).

Somit gilt auch direkt das \({}^i\!{e_z}_i\) immer \((0,0,1)^T\) ist.

Grüße
Arno

m_r
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Re: Einheitsvektoren von Achsen

Beitrag von m_r »

So ist es.
Und zwar immer und nicht bloss bei Manipulatoren nach DH-Konvention. Eine Rotationsmatrix enthält immer die entsprechenden Einheitsvektoren in den Spalten. Siehe dazu Abschnitt 2.3.2 im Skript.
Allerdings gilt nur bei Manipulatoren bei denen die Bewegungsachse die positive z-Achse ist, also z.B. bei Manipulatoren nach DH, die Formel: \({}^m\omega_i=\rho_i \; {}^me_{z_{i-1}} \dot q_i\). Ist die Bewegungsachse eine andere so muss hier natürlich der Einheitsvektor der entsprechenden Bewegungsachse stehen.
mfg

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