Euler vs. Kardan

acerberus
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Euler vs. Kardan

Beitrag von acerberus »

Hallo,

ich habe eine Frage zum Unterschied zwischen Euler und Kardan Winkeln. Im Skript heißt es, dass bei Kardan Winkeln jeweils um die Achsen des festen Bezugsystems \(S_a\) gedreht wird. Drehen wir um die drei Achsen x, y, z, so erhalten wir die Formel:
\({}^a\!R_b(\Psi,\Theta,\Phi) = R(z;\Phi) * R(y;\Theta) * R(x;\Psi)\)

Soweit so gut. Bei Euler Winkeln heißt es jetzt, dass um die Achsen des momentanen Bezugssystems \(S_b\) gedreht wird. Im Skript ist hierzu folgende Formel angegeben:
\({}^a\!R_b(\alpha,\beta,\gamma) = R(z;\alpha) * R(y;\beta) * R(z;\gamma)\)
Wie genau habe ich mir das vorzustellen. Heißt das ich drehe als erstes um die z-Achse von \(S_b\) dann um die y-Achse des durch die bereits erhaltene Drehung enstandenen \(S_b^'\) usw. Oder drehe ich jeweils um die Achsen von \(S_b\). Und gibt es einen Unterschied zwischen
R(z;45°,Kardan) und R(z;45°,Euler), also sind das wirklich unterschiedliche Matrizen, oder sind diese gleich?

Vielen Dank schonmal für Antworten
Arno

m_r
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Re: Euler vs. Kardan

Beitrag von m_r »

Hallo,
acerberus hat geschrieben:Bei Euler Winkeln heißt es jetzt, dass um die Achsen des momentanen Bezugssystems \(S_b\) gedreht wird. Im Skript ist hierzu folgende Formel angegeben:
\({}^a\!R_b(\alpha,\beta,\gamma) = R(z;\alpha) * R(y;\beta) * R(z;\gamma)\)
Wie genau habe ich mir das vorzustellen. Heißt das ich drehe als erstes um die z-Achse von \(S_b\) dann um die y-Achse des durch die bereits erhaltene Drehung enstandenen \(S_b^'\) usw.
Ja genau.
acerberus hat geschrieben: Und gibt es einen Unterschied zwischen
R(z;45°,Kardan) und R(z;45°,Euler), also sind das wirklich unterschiedliche Matrizen, oder sind diese gleich?
R(z;45°) ist immer R(z;45°). Es gibt da keine unterschiedlichen Matrizen für Kardan- und Euler-Winkel.
Oder anders: Die Kardanwinkel \(\phi=45°,\theta=0,\psi=0\) und die Eulerwinkel \(\alpha=45°,\beta=0,\gamma=0\) beschreiben beide dieselbe Rotation nämlich R(z;45°).

mfg

acerberus
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Re: Euler vs. Kardan

Beitrag von acerberus »

Leider verstehe ich das immer noch nicht.

Wenn es keinen Unterschied zwischen den beiden Systemen gibt (also R(y;90°) für Kardanwinkel wie für Eulerwinkel gleich ist), außer das einmal um Z-Y-Z und einmal um X-Y-Z gedreht wird, wie soll das dann funktionieren, dass wir einmal um die festen Achsen von \(S_a\) drehen (Kardanwinkel) und einmal um die jeweils momentanen Achsen der durch die vorherige Drehung entstandenen Systems drehen (Eulerwinkel), wenn wir in beiden Fällen die Rotationsmatrizen einfach aufmultiplizieren. Dies muss doch in den Formeln irgendwie berücksichtigt werden :?:

m_r
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Re: Euler vs. Kardan

Beitrag von m_r »

Der Unterschied ist die Reihenfolge der Matrizenmultiplikationen. Bei Kardanwinkeln werden die drei Rotationsmatrizen nacheinander jeweils von links an die Rotationsmatrix multipliziert (Vormultiplikation), bei Eulerwinkeln nacheinander jeweils von rechts (Nachmultiplikation). Der Effekt ist dann genau der, dass im ersten Fall um die Achsen des festen Bezugssystems rotiert wird, im zweiten Fall aber um die Achsen des momentanten Bezugssystems.

mfg

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