Fertigstellung...

[Patr0rc]

Hallo alle.

Es gibt mehrere Sachen auf der PQC-Seite, die seit heute neu dazugekommen sind:

1. Die letzte Vorlesung vom 10.02. ist online.

2. Die Lösungsvorschläge zu den Übungen sind komplettiert.

3. und wichtigstes, was hoffentlich alle freut: Es gibt eine Komplettversion des Skripts mit Inhaltsverzeichnis und Index unter http://www.cdc.informatik.tu-darmstadt. ... es/PQC.pdf, in der hoffentlich alles richtig ist.

4. und auch wichtig: Bei der Hausübung habe ich bei den Extrapunktaufgaben die letzte, wo zu zeigen war, dass IJ auch ein Ideal ist, aus der Bewertung rausgenommen. Wer sie trotzdem korrekt begründet bzw. ein Gegenbeispiel gebracht hat, hat, sofern vorher Punkte abgezogen wurden, zusätzlich einen extra Punkt addiert bekommen. Natürlich hat keiner mehr als 10 Punkte auf die Aufgabe bekommen...

Ansonsten wünsche ich euch allen viel Erfolg bei der Klausur!

Viele Grüße,
Patrick

[\Hannes]

Sau gut, vielen Dank!

[\Hannes]

Hoppla war Unsinn, musste Shift+F5 ma machen damit die Links wieder richtig warn

[Richie]

Hey,
super vielen Dank, vor allem nochmal für das komplette Script!

Die einzelnen Vorlesungsunterlagen sind aber irgendwie etwas chaotisch abgelegt, ich blick da jedenfalls nicht durch

[C0RNi666]

Jo, vielen Dank für die Komplettversion

Mich würde allerdings interessieren, was wohl ein gültiges Gegenbeispiel, für die Behauptung das Produkt IJ sei ein Ideal, wäre. Hat da jemand eins parat?

[Felo]

Also ich schliesse mich auch erstmal mit dem Dank für das vollständige Skript und natürlich für die gute Betreuung hier im Forum an .

Zu dem Gegenbeispiel für IJ hab ich folgendes geschrieben:

Seien z.B. I = J = {...-1, 0, 1, ...} zwei Ideale in Z, d.h. dass beide Ideale gleich Z sind.
Das Gegenbeispiel kann man jetzt bei Bedingung 2., dass die Summe von zwei Elementen aus dem Ideal IJ auch im Ideal ist, konstruieren:
Beispiel: (3 * 7) + (5 * 2) = 31
Allerdings ist 31 eine Primzahl und somit nicht als Produkt zweier Elemente aus Z darstellbar => 31 ist nicht in IJ enthalten ist => IJ ist kein Ideal in Z.

Viele Grüße,
Michael

[C0RNi666]

Allerdings ist 31 eine Primzahl und somit nicht als Produkt zweier Elemente aus Z darstellbar => 31 ist nicht in IJ enthalten ist => IJ ist kein Ideal in Z.

Mit deinem Beispiel bin ich nicht ganz zufrieden: 31 ist doch wohl mit 2 Elementen aus Z darstellbar: \(a = 31, b = 1 \wedge a \epsilon I \wedge b \epsilon J \rightarrow ab \epsilon IJ\)

Jetzt wirds langsam offtopic...

[C0RNi666]

doppelpost..

[marlic]

Genau. Z * Z ist Z, denn da \(1 \in Z\) gilt \(1*Z = Z \subseteq Z*Z \subseteq Z\)

[Felo]

Stimmt, dann müssen aber nur die Ideale anders gewählt werden.
Sei das Ideal I = {0, 2, 4, 5, 7, ....} (also alle Vielfachen von 2 und 5, sowie alle Summen aus diesen beiden) ein Ideal auf Z und
das Ideal J = {0, 3, 6, 7, 9, 10, ...} (also alle Vielfachen von 3 und 7 sowie alle Summen) auch ein Ideal auf Z.

Ähnliches Beispiel: 5 * 3 + 2 * 7 = 29. Diese ist zwar im Ideal I und J enthalten, aber da 1 nicht Element von I bzw. J ist, kann sie nicht Element von IJ sein.

[Patr0rc]

Was ist bei I mit 5-4 und bei J mit 7-6? Die müssten doch auch drin sein, oder?

[C0RNi666]

Stimmt, dann müssen aber nur die Ideale anders gewählt werden.
Sei das Ideal I = {0, 2, 4, 5, 7, ....} (also alle Vielfachen von 2 und 5, sowie alle Summen aus diesen beiden) ein Ideal auf Z und
das Ideal J = {0, 3, 6, 7, 9, 10, ...} (also alle Vielfachen von 3 und 7 sowie alle Summen) auch ein Ideal auf Z.

Ähnliches Beispiel: 5 * 3 + 2 * 7 = 29. Diese ist zwar im Ideal I und J enthalten, aber da 1 nicht Element von I bzw. J ist, kann sie nicht Element von IJ sein.

Hier muss ich dich leider enttäuschen, auch dieses Beispiel funktioniert meiner Meinung nach nicht:

Für dein Ideal aus Vielfachen von 2 und 5, sowie derer Summen, sind auch derer Differenzen laut Definition Element eines Ideals.
Ich gehe davon aus, dass du in deinem Beispiel die Ideale \(2 * Z + 5 * Z\) und \(3 * Z + 7 * Z\) meinst. Diese enthalten selbstverständlich das 1-Element bezüglich des Rings \(Z\) Beispiel: \(2 * (-2) + 1 * 5 = 1 \in {2 * Z + 5 * Z}\)

Dieses 1-Element ist dann auch im Produkt von I und J enthalten.

Deine Ideale I und J sind zwar anders definiert, aber auch in diesem Fall gilt \(I = J = Z\) analog zur Argumentation von marlic

[Richie]

Also soweit ich weiß, kann man mit Idealen in Z nicht zeigen, dass IJ im allgemeinen kein Ideal ist.
Mal schauen, ob ich den Beweis noch aus dem Kopf zusammen bekomme, den ich aufgeschrieben hatte (und hoffe, dass er richtig ist):

Sei I das Ideal, was durch <3, x^2> generiert wird und sei J das Ideal was durch <5, x> generiert wird (siehe Generator-Definition aus der b) )

Dann sind ein paar Beispielelemente aus IJ: 3, 5, 15, ..., 3x, 5x, ...

Sei nun a = 5x^2 (in IJ) und b = 3x (in IJ), so ist a + b = 5x^2 + 3x (nicht in IJ).