Leading Term vs. Leading Monomial

DMT
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Leading Term vs. Leading Monomial

Beitrag von DMT » 2. Mär 2009 16:51

Hallo,
beim Buchberger Algorithmus haben wir für die Definition von S nur die Leading Monimials verwendet.
Unserer Meinung nach müsste da aber Leading Terms stehen, weil man sonst die Leading Terms nicht wegbekomt...
Also müsste stimmen:
\(S(f,g) := \frac{\text{lcm}(\textsf{LT}(f),\textsf{LT}(g))}{\textsf{LT}(f)}f - \frac{\text{lcm}(\textsf{LT}(f),\textsf{LT}(g))}{\textsf{LT}(g)}g.\)

Zu Exercise 4, Task 4 a) ii) mit graded lex.
Wir haben den ersten Schritt ausgerechnet und bekommen als reduziertes Polynom -3 heraus. Warum kann ich jetzt schon abbrechen (wie es z.B. das Java-Applet macht)??
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Re: Leading Term vs. Leading Monomial

Beitrag von Xelord » 2. Mär 2009 17:05

DMT hat geschrieben:Hallo,
beim Buchberger Algorithmus haben wir für die Definition von S nur die Leading Monimials verwendet.
Unserer Meinung nach müsste da aber Leading Terms stehen, weil man sonst die Leading Terms nicht wegbekomt...
Also müsste stimmen:
\(S(f,g) := \frac{\text{lcm}(\textsf{LT}(f),\textsf{LT}(g))}{\textsf{LT}(f)}f - \frac{\text{lcm}(\textsf{LT}(f),\textsf{LT}(g))}{\textsf{LT}(g)}g.\)

Zu Exercise 4, Task 4 a) ii) mit graded lex.
Wir haben den ersten Schritt ausgerechnet und bekommen als reduziertes Polynom -3 heraus. Warum kann ich jetzt schon abbrechen (wie es z.B. das Java-Applet macht)??
Naja es muss nur unterhalb des Bruches ein LT stehen, da dieser den gleichen Faktor wie LT(f) bzw. LT(g) hat.

\(S(f,g) := \frac{\text{lcm}(\textsf{LM}(f),\textsf{LM}(g))}{\textsf{LT}(f)}f - \frac{\text{lcm}(\textsf{LM}(f),\textsf{LM}(g))}{\textsf{LT}(g)}g.\)

Hmmm...scheint so als würden Polynome 0 Grades nicht als Polynome aufgefasst werden.

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Re: Leading Term vs. Leading Monomial

Beitrag von DMT » 2. Mär 2009 17:27

Nee des klappt net^^
angenommen dein Polynom hat Koeffizienten des LeadingTerm =3, aber alle anderen Monomials haben nur Koeffizient 1.
dann hätten wir aber 1/3 als Koeffizienten des neuen Polynoms. Das ist aber nicht zulässig wenn wir beispielsweise über Z sind.

In diesem Fall funktioniert das, weil wir Koeffizienten aus Q wählen. Für Z zum Beispiel muss man die Definition nehmen, die oben steht.
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Re: Leading Term vs. Leading Monomial

Beitrag von Xelord » 2. Mär 2009 18:22

DMT hat geschrieben:Nee des klappt net^^
angenommen dein Polynom hat Koeffizienten des LeadingTerm =3, aber alle anderen Monomials haben nur Koeffizient 1.
dann hätten wir aber 1/3 als Koeffizienten des neuen Polynoms. Das ist aber nicht zulässig wenn wir beispielsweise über Z sind.

In diesem Fall funktioniert das, weil wir Koeffizienten aus Q wählen. Für Z zum Beispiel muss man die Definition nehmen, die oben steht.
Ja, du hast recht. Das Problem ist nur, warum sollten wir nicht in Q sein...Siehe Buchberger (selbst dort sind Brüche enthalten). http://www.risc.uni-linz.ac.at/publicat ... .part2.pdf

Lange Rede kurzer Sinn...in Q gehts in Z muss man sich was überlegen, wenn es kommen sollte ;)

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Re: Leading Term vs. Leading Monomial

Beitrag von Sho » 2. Mär 2009 18:36

Xelord hat geschrieben: \(S(f,g) := \frac{\text{lcm}(\textsf{LM}(f),\textsf{LM}(g))}{\textsf{LT}(f)}f - \frac{\text{lcm}(\textsf{LM}(f),\textsf{LM}(g))}{\textsf{LT}(g)}g.\)
ist wohl richtig, da \(f,g \in \mathbb F[x]\) (s. Skript)

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Re: Leading Term vs. Leading Monomial

Beitrag von DMT » 2. Mär 2009 19:24

^ja und was wenn jetzt F[x]=Z[x]??

Also Wikipedia und eine andere Quelle meint man muss beides mal den Leading TERM nehmen...
http://www.computeralgebra.nl/ca_librar ... 3_3_3.html
http://en.wikipedia.org/wiki/Buchberger%27s_algorithm
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Re: Leading Term vs. Leading Monomial

Beitrag von Patr0rc » 2. Mär 2009 19:48

Benutzt man den leading term sowohl im Nenner als auch im lcm im Zähler, so wird garantiert ein Element aus dem entsprechenden Körper bzw. Ring herauskommen, mit dem man f bzw. g multipliziert. Dementsprechend ist die LT/LT-Variante die allgemeinere von beiden, die in jedem Körper und Ring(!) Bestand haben wird. Nimmt man im Zähler nur das leading monomial, könnten durch den Bruch Elemente entstehen, die nicht mehr im Körper bzw. Ring enthalten sind, wofür die Multiplikation nicht definiert wäre.
Im Beispiel war es kein Problem, da wir über Q waren und somit die Abgeschlossenheitseigenschaft des Körpers erfüllt war (Vollständigkeit). Über Z, was nur ein Ring und kein Körper ist, ist LM/LT nicht definiert, falls im LT Zahlen ungleich +/-1 vorkommen.
Ich hoffe, dass dies die Diskussion positiv fortführt.

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Re: Leading Term vs. Leading Monomial

Beitrag von Sho » 2. Mär 2009 19:55

\(\mathbb F\) ist imo ein endlicher Körper, womit \(\mathbb Z\) rausfällt. Manchmal nimmt wohl auch \(\mathbb K[x]\) (s.Ex.4,T.4 b))

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