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Verfasst: 3. Feb 2009 21:36
b) How can the group $$\mathbb{F}_{256}$$ have a group generator ? Groups only have a group generator, if p is prime ?
Can anybody explain for what I need the generator ?

### Re: Exercise 4: Task 1

Verfasst: 3. Feb 2009 22:32
Xelord hat geschrieben:b) How can the group $$\mathbb{F}_{256}$$ have a group generator ? Groups only have a group generator, if p is prime ?
The order of a group with a generator (AKA "cyclic group") doesn't need to be prime. Take for example $$(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}, +)$$. The element $$\overline{1} \in \mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ is always a generator, no matter what n is.

Since $$\mathbb{F}_{256}$$ is a finite field, the multiplicative group $$(\mathbb{F}_{256} \setminus \{0\}, {\cdot})$$ must be cyclic, so it certainly has a generator.

(I'm not actually taking this class, so consider my posting "uninformed".)

### Re: Exercise 4: Task 1

Verfasst: 3. Feb 2009 22:57
Das sehe ich nicht so. Betrachten wir $$\mathbb{F}_8$$ multiplikativ. Dann gilt doch
$$1^1 = 1, 1^2 = 1$$ => Kein Generator
$$2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 0$$ => Kein Generator
$$3^1 = 3, 3^2 = 1$$ => Kein Generator
$$4^1 = 4, 4^2 = 0$$ => Kein Generator
$$5^1 = 5, 5^2 = 1$$ => Kein Generator
$$6^1 = 6, 6^2 = 4, 6^3 = 0$$ => Kein Generator
$$7^1 = 7, 7^2 = 1$$ => Kein Generator

Wo ist mein Fehler?

### Re: Exercise 4: Task 1

Verfasst: 3. Feb 2009 23:02
mädchen hat geschrieben:Das sehe ich nicht so. Betrachten wir $$\mathbb{F}_8$$ multiplikativ. Dann gilt doch
$$1^1 = 1, 1^2 = 1$$ => Kein Generator
$$2^1 = 2, 2^2 = 4, 2^3 = 0$$ => Kein Generator
$$3^1 = 3, 3^2 = 1$$ => Kein Generator
$$4^1 = 4, 4^2 = 0$$ => Kein Generator
$$5^1 = 5, 5^2 = 1$$ => Kein Generator
$$6^1 = 6, 6^2 = 4, 6^3 = 0$$ => Kein Generator
$$7^1 = 7, 7^2 = 1$$ => Kein Generator

Wo ist mein Fehler?
$$\mathbb{Z}/8\mathbb{Z}$$ ist nicht $$\mathbb{F}_8$$.

### Re: Exercise 4: Task 1

Verfasst: 4. Feb 2009 12:58
Fine. What is the generator of $$\mathbb{F}_8$$ ?