Kap.4 Folie 14

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igor.a
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Kap.4 Folie 14

Beitrag von igor.a »

Wie kommt es, dass in der mittleren Formel zu \((\Delta {\bf x}_i)' = f_i({\bf x},{\bf u})\) in der Summe auch \(f_i({\bf x}_s,{\bf u}_s)\) vorkommt, in der unteren Formel auf der gleichen Folie aber verschwindet?

Stumpf.Alex
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Re: Kap.4 Folie 14

Beitrag von Stumpf.Alex »

igor.a hat geschrieben:Wie kommt es, dass in der mittleren Formel zu \((\Delta {\bf x}_i)' = f_i({\bf x},{\bf u})\) in der Summe auch \(f_i({\bf x}_s,{\bf u}_s)\) vorkommt, in der unteren Formel auf der gleichen Folie aber verschwindet?
Das liegt an der Beziehung \(\bf \dot x_i(t) = f_i({\bf x},{\bf u}) = f_i({\bf x_s + \Delta x},{\bf u_s + \Delta y}) = f_i({\bf x_s},{\bf u_s}) + (\Delta {\bf x}_i \dot ) = \bf \dot x_s(t) + (\Delta {\bf x}_i \dot )\).

Am besten sollte man sich zum besseren Verständnis eine geometrische Darstellung der Linearisierung \(\Delta x(t) = x(t) - x_s\) bzw. \(x(t) = x_s + \Delta x(t)\) erstellen mit dem einfachen Fall \(\dot x(t) = f(x(t))\). Hierbei wählt man für die y-Achse \(\dot x(t): \dot x(t) = \dot x_s(t) + (\Delta x(t)\dot)\) und für die x-Achse \(x(t) = x_s + \Delta x(t)\). Die Linearisieung selbst ist dann eine Tangente am Arbeitspunkt \((x_s, \dot x_s)^T\). Alle Punkte \((x(t) + \Delta x(t), \dot x(t )+ (\Delta x(t) \dot))\) liegen dann auf dieser Tangente.

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igor.a
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Re: Kap.4 Folie 14

Beitrag von igor.a »

Danke, die Formel hat mich an die sehr einfache Tatsache erinnert, dass \(f({\bf x}_s,{\bf u}_s) = \dot{{\bf x}_s} = 0\) :oops:

Stumpf.Alex
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Re: Kap.4 Folie 14

Beitrag von Stumpf.Alex »

igor.a hat geschrieben:Danke, die Formel hat mich an die sehr einfache Tatsache erinnert, dass \(f({\bf x}_s,{\bf u}_s) = \dot{{\bf x}_s} = 0\) :oops:
Woher hast du das? \(\dot{{\bf x}_s}\) ist die Steigung im Arbeitspunkt, nicht die Änderung des Arbeitpunktes (die logischerweise 0 ist). Bitte nicht verwechseln!

LordHoto
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Re: Kap.4 Folie 14

Beitrag von LordHoto »

Stumpf.Alex hat geschrieben:
igor.a hat geschrieben:Danke, die Formel hat mich an die sehr einfache Tatsache erinnert, dass \(f({\bf x}_s,{\bf u}_s) = \dot{{\bf x}_s} = 0\) :oops:
Woher hast du das? \(\dot{{\bf x}_s}\) ist die Steigung im Arbeitspunkt, nicht die Änderung des Arbeitpunktes (die logischerweise 0 ist). Bitte nicht verwechseln!
Das verstehe ich nicht. Laut der Folien "Wiederholung Differentialgleichungen" Folie 5 gilt für einen Ruhepunkt/Arbeitspunkt: \(\dot{{\bf x}_s} = 0 = f({\bf x}_s)\). Daher würde ich interpretieren, dass die Steigung im Arbeitspunkt 0 ist. Was ist jetzt genau der Unterschied zwischen Steigung im Arbeitspunkt und Änderung des Arbeitspunktes?
Compiler 1 Tutor WS 12/13

Stumpf.Alex
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Re: Kap.4 Folie 14

Beitrag von Stumpf.Alex »

Da der Arbeitspunkt konstant ist, ändert dieser sich auch niemals, also ist die Änderung des Arbeitspunkt selbst 0.

Jedoch muss das nicht heißen, dass die DGL bzw. \(f(x)\) in diesem Punkt 0 sein muss. Natürlich wählt man i.d.R. einen Arbeitspunkt so, dass dieser in der Ruhelage liegt, daher steht auch im Skript explizit im "Ruhepunkt/Arbeitspunkt ist \(\bf{\dot x_s} = 0\)". Schließlich wollen wir um die Ruhelage regeln.

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