Kap.4 Folie 14

[igor.a]

Wie kommt es, dass in der mittleren Formel zu \((\Delta {\bf x}_i)' = f_i({\bf x},{\bf u})\) in der Summe auch \(f_i({\bf x}_s,{\bf u}_s)\) vorkommt, in der unteren Formel auf der gleichen Folie aber verschwindet?

[Stumpf.Alex]

Wie kommt es, dass in der mittleren Formel zu \((\Delta {\bf x}_i)' = f_i({\bf x},{\bf u})\) in der Summe auch \(f_i({\bf x}_s,{\bf u}_s)\) vorkommt, in der unteren Formel auf der gleichen Folie aber verschwindet?

Das liegt an der Beziehung \(\bf \dot x_i(t) = f_i({\bf x},{\bf u}) = f_i({\bf x_s + \Delta x},{\bf u_s + \Delta y}) = f_i({\bf x_s},{\bf u_s}) + (\Delta {\bf x}_i \dot ) = \bf \dot x_s(t) + (\Delta {\bf x}_i \dot )\).

Am besten sollte man sich zum besseren Verständnis eine geometrische Darstellung der Linearisierung \(\Delta x(t) = x(t) - x_s\) bzw. \(x(t) = x_s + \Delta x(t)\) erstellen mit dem einfachen Fall \(\dot x(t) = f(x(t))\). Hierbei wählt man für die y-Achse \(\dot x(t): \dot x(t) = \dot x_s(t) + (\Delta x(t)\dot)\) und für die x-Achse \(x(t) = x_s + \Delta x(t)\). Die Linearisieung selbst ist dann eine Tangente am Arbeitspunkt \((x_s, \dot x_s)^T\). Alle Punkte \((x(t) + \Delta x(t), \dot x(t )+ (\Delta x(t) \dot))\) liegen dann auf dieser Tangente.

[igor.a]

Danke, die Formel hat mich an die sehr einfache Tatsache erinnert, dass \(f({\bf x}_s,{\bf u}_s) = \dot{{\bf x}_s} = 0\)

[Stumpf.Alex]

Danke, die Formel hat mich an die sehr einfache Tatsache erinnert, dass \(f({\bf x}_s,{\bf u}_s) = \dot{{\bf x}_s} = 0\)

Woher hast du das? \(\dot{{\bf x}_s}\) ist die Steigung im Arbeitspunkt, nicht die Änderung des Arbeitpunktes (die logischerweise 0 ist). Bitte nicht verwechseln!

[LordHoto]

Danke, die Formel hat mich an die sehr einfache Tatsache erinnert, dass \(f({\bf x}_s,{\bf u}_s) = \dot{{\bf x}_s} = 0\)

Woher hast du das? \(\dot{{\bf x}_s}\) ist die Steigung im Arbeitspunkt, nicht die Änderung des Arbeitpunktes (die logischerweise 0 ist). Bitte nicht verwechseln!

Das verstehe ich nicht. Laut der Folien "Wiederholung Differentialgleichungen" Folie 5 gilt für einen Ruhepunkt/Arbeitspunkt: \(\dot{{\bf x}_s} = 0 = f({\bf x}_s)\). Daher würde ich interpretieren, dass die Steigung im Arbeitspunkt 0 ist. Was ist jetzt genau der Unterschied zwischen Steigung im Arbeitspunkt und Änderung des Arbeitspunktes?

[Stumpf.Alex]

Da der Arbeitspunkt konstant ist, ändert dieser sich auch niemals, also ist die Änderung des Arbeitspunkt selbst 0.

Jedoch muss das nicht heißen, dass die DGL bzw. \(f(x)\) in diesem Punkt 0 sein muss. Natürlich wählt man i.d.R. einen Arbeitspunkt so, dass dieser in der Ruhelage liegt, daher steht auch im Skript explizit im "Ruhepunkt/Arbeitspunkt ist \(\bf{\dot x_s} = 0\)". Schließlich wollen wir um die Ruhelage regeln.