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Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 17:50
von DC-GS
samy-delux hat geschrieben:Irgendwie kann ich nicht ganz finden, wie ich die Gleichgewichtspunkte der DGL bestimme.
Zufällig da wo \(z'(x)=0\) ?
ich würde behaupten x'' = 0 setzen. Nur dass 0 ein Vektor ist, der Form: \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)

Zu c.

Wird man nun \(\sin(\arctan(z)) = z\) vereinfachen können, für z, die gegen 0 gehen bzw nahe 0 sind?

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 19:07
von Render
Stumpf.Alex hat geschrieben:
m_stoica hat geschrieben:\(F=m \ddot x\) und
\(z(x) = x^3 - 3x\)
dabei kann es sich aber kaum um das selbe x handeln.
Warum denn nicht? x beschreibt die Position auf dem Graphen.
Stumpf.Alex hat geschrieben:\(F=m\ddot x\) und \(F= -mgsin(\alpha)\) beschreiben beide das gleiche \(F\).
Ich verstehe die Modellierungsvorgaben nicht im Zusammenhang mit dem von dir gesagtem. Also angenommen x(t) beschreibt wirklich nur die x-Komponente dann wäre \(c(t) = \begin{pmatrix}
x(t) \\
z(x(t))
\end{pmatrix}\)
die Position der Kugel zum Zeitpunkt t. Die Steigung der Funktion z wächst unbeschränkt also finden wir irgend einen Punkt x(0) an dem alpha = 89.999 ist. Wenn beide Formeln wie von dir beschrieben das gleiche F beschreiben würde gelten \(\ddot x = -gsin(\alpha)\) und somit \(\ddot x = -gsin(89.999)\approx -g\). Interpretieren wir \(\ddot x\) als Beschleunigung der x-Komponente der Position der Kugel so würde die Kugel fast nur nach links beschleunigt werden und so gut wie gar nicht nach unten, denn der Beschleunigungsvektor kann nicht länger wie g sein, und die Kugel würde einfach von der Bahn nach links fliegen.

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 20:02
von ab26iget.stud.tu
eine kleine Frage !!
Ist alpha der Winkel zwischen der Tangente und der X-Achse ??

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 20:09
von Stumpf.Alex
ab26iget.stud.tu hat geschrieben:eine kleine Frage !!
Ist alpha der Winkel zwischen der Tangente und der X-Achse ??
Jap

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 20:42
von Stumpf.Alex
Render hat geschrieben: Ich verstehe die Modellierungsvorgaben nicht im Zusammenhang mit dem von dir gesagtem. Also angenommen x(t) beschreibt wirklich nur die x-Komponente dann wäre \(c(t) = \begin{pmatrix}
x(t) \\
z(x(t))
\end{pmatrix}\)
die Position der Kugel zum Zeitpunkt t. Die Steigung der Funktion z wächst unbeschränkt also finden wir irgend einen Punkt x(0) an dem alpha = 89.999 ist. Wenn beide Formeln wie von dir beschrieben das gleiche F beschreiben würde gelten \(\ddot x = -gsin(\alpha)\) und somit \(\ddot x = -gsin(89.999)\approx -g\). Interpretieren wir \(\ddot x\) als Beschleunigung der x-Komponente der Position der Kugel so würde die Kugel fast nur nach links beschleunigt werden und so gut wie gar nicht nach unten, denn der Beschleunigungsvektor kann nicht länger wie g sein, und die Kugel würde einfach von der Bahn nach links fliegen.
Aber seine Höhe ist von \(z(x)\) abhängig. Und desto schneller er fällt, desto weiter bewegt er sich in einem Zeitraum \(\delta t\). Ist alles ein bisschen idealisiert hier.

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 21:20
von Render
Stumpf.Alex hat geschrieben:
Render hat geschrieben: Ich verstehe die Modellierungsvorgaben nicht im Zusammenhang mit dem von dir gesagtem. Also angenommen x(t) beschreibt wirklich nur die x-Komponente dann wäre \(c(t) = \begin{pmatrix}
x(t) \\
z(x(t))
\end{pmatrix}\)
die Position der Kugel zum Zeitpunkt t. Die Steigung der Funktion z wächst unbeschränkt also finden wir irgend einen Punkt x(0) an dem alpha = 89.999 ist. Wenn beide Formeln wie von dir beschrieben das gleiche F beschreiben würde gelten \(\ddot x = -gsin(\alpha)\) und somit \(\ddot x = -gsin(89.999)\approx -g\). Interpretieren wir \(\ddot x\) als Beschleunigung der x-Komponente der Position der Kugel so würde die Kugel fast nur nach links beschleunigt werden und so gut wie gar nicht nach unten, denn der Beschleunigungsvektor kann nicht länger wie g sein, und die Kugel würde einfach von der Bahn nach links fliegen.
Aber seine Höhe ist von \(z(x)\) abhängig. Und desto schneller er fällt, desto weiter bewegt er sich in einem Zeitraum \(\delta t\). Ist alles ein bisschen idealisiert hier.
Also die Kugel kann sich nicht von der vorgegebenen Bahn entfernen? Nehmen wir mal für einen Moment an wir hätten anstatt z(x) die Bahn \(f(x)=tan(89.9)x\) mit konstanter Steigung und den Startpunkt \(x(0)=0\) sowie \(\dot x(0) = 0\) , dann wäre \(\ddot x(t) = -gsin(89.9)\) und Integrieren ergibt \(\dot x(t) = -gsin(89.9)t\) sowie \(x(t)=-0.5*gsin(89.9)t^2\). Also ist \(x(1) = -0.5*10*sin(89.9) \approx -5\) und \(f(-5) \approx -2864\). Das bedeuted die Kugel hat in einer Sekund ca 2864m zurückgelegt bei einer Startgeschwindigkeit von 0? Allein durch die Erdbeschleunigung? :shock:

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 21:36
von kutschke
Hi! Kann es sein dass bei (b) und (c) drei Fälle instabil sind und einer, wo man keine Aussage treffen kann?

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 22:02
von Stumpf.Alex
Render hat geschrieben:Also die Kugel kann sich nicht von der vorgegebenen Bahn entfernen?
Richtig, in diesem Modell kann sie das nicht.
Render hat geschrieben:Nehmen wir mal für einen Moment an wir hätten anstatt z(x) die Bahn \(f(x)=tan(89.9)x\) mit konstanter Steigung und den Startpunkt \(x(0)=0\) sowie \(\dot x(0) = 0\) , dann wäre \(\ddot x(t) = -gsin(89.9)\) und Integrieren ergibt \(\dot x(t) = -gsin(89.9)t\) sowie \(x(t)=-0.5*gsin(89.9)t^2\). Also ist \(x(1) = -0.5*10*sin(89.9) \approx -5\) und \(f(-5) \approx -2864\). Das bedeuted die Kugel hat in einer Sekund ca 2864m zurückgelegt bei einer Startgeschwindigkeit von 0? Allein durch die Erdbeschleunigung? :shock:
Wie gesagt, die Übungsaufgabe ist für das Problem idealisiert. Das heißt es wurden nicht ausgesprochene Annahmen und Vereinfachungen gemacht, die das Problem für die Bearbeitung der Übung vereinfachen.

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 22:15
von m_stoica
kutschke hat geschrieben:Hi! Kann es sein dass bei (b) und (c) drei Fälle instabil sind und einer, wo man keine Aussage treffen kann?
öhm, ich bezweifle mal, dass es drei Gleichgewichtslösungen gibt. Pottentiel kommen doch nur die zwei Extrema der Funktion in Frage.
Ich kann mir kaum vorstellen, dass die Kugel an einem Ort zum Stillstand kommen kann, an dem die Steigung != 0 ist. ;)

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 11. Nov 2009 22:33
von eesti
also ich hab jetzt 2 Gleichgewichtspunkte

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 12. Nov 2009 07:45
von m_stoica
klingt gut =)

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 12. Nov 2009 08:36
von TCE
Stumpf.Alex hat geschrieben:
ab26iget.stud.tu hat geschrieben:eine kleine Frage !!
Ist alpha der Winkel zwischen der Tangente und der X-Achse ??
Jap
Ist mit Tangente die Steigung in einem bestimmten Punkt gemeint??

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 12. Nov 2009 10:42
von kutschke
m_stoica hat geschrieben:
kutschke hat geschrieben:Hi! Kann es sein dass bei (b) und (c) drei Fälle instabil sind und einer, wo man keine Aussage treffen kann?
öhm, ich bezweifle mal, dass es drei Gleichgewichtslösungen gibt. Pottentiel kommen doch nur die zwei Extrema der Funktion in Frage.
Ich kann mir kaum vorstellen, dass die Kugel an einem Ort zum Stillstand kommen kann, an dem die Steigung != 0 ist. ;)
Hallo! Klar gibt es zwei, aber bei (b) und (d) sind es ja jeweils zwei, das meinte ich. Ich fand halt seltsam, dass bei mir rauskommt, in dem minimalen Punkt ist bei (a) keine Aussage möglich und bei (d) ist es instabil. Wenn ich mir das bildlich vorstelle finde ich das es im Minimum doch eigentlicht stabil sein müsste. Wenn der Ball ein bisschen nach nach rechts und links kullert rollt er ja wieder zurück. Oder heißt Stabilität, dass egal von wo man startet das System in diesen Zustand zurückkehren wird? Irgendwie finde ich ihn in dem Fall nur mäßig nützlich.

Edit: Hab meinen Fehler gefunden. Aber muss man eigentlich \(\dot{z}\) mit in die Differentialgleichung aufnehmen? Ich hab die vermutung dass diese Vorgehensweise von mir der Grund ist, warum ich noch zusätzlich überall einen Eigenwert der Jakobimatrix mit 0 bestimme. Brauche ich z mit drin oder nicht, da ich z auch implizit über x bestimmen kann?

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 12. Nov 2009 13:09
von kaktuskuchen
hey,

kann mir nochmal jemand erklären, wie ihr auf \(z'(x) = \tan(x)\) gekommen seid?

Und wie seid ihr auf die Geschichte mit dem \(\sin(arctan(z))\) gekommen? Ich verstehe das gerade alles nicht... :?

Re: Ü5 Aufg 1

Verfasst: 12. Nov 2009 13:27
von samy-delux
Eigentlich ist es \(z'(x) = tan(\alpha)\)
Das rührt daher, dass der Tangens genau der Steigungswinkel ist und die 1. Ableitung ja auch genau die Steigung ist.

Mehr Tips kannst du dir auch hier holen:
http://www.fachschaft.informatik.tu-dar ... 32#p105832