Ü5 Aufg 1

[m_stoica]

Naja, F=ma muss aber in die gleiche Richtung wie die Bescheunigung (a) selbst zeigen. Somit kann ich nicht nachvollziehen, warum es
sich beidemale um das gleiche F handelt

kraft.PNG (2.6 KiB) 577 mal betrachtet

[Diablo]

Auf deutsch: Wir suchen ein DGL-System 1. Ordnung.

Ganz genau daher ja mein Ansatz einfach y'(x) zu nehmen das ist ja dann 1. Ordnung ...

Also noch mal die Frage ist das ok oder muss ich die Stammfunktion von x'' bilden damit ich dann x' habe ?

[TCE]

ich frag mich viel eher wie ich den winkel alpha verpacke ....
ich mein dass ich alpha über tan und ableitung von z ausdrücken kann ist schonmal ne idee gewesen aber damit weiterzurechnen is ne qual selbst wenn ich aus der formelsammlung sin arc tan x nachschlagen kann ist es nicht gerade ein schönes oder angenehmes rechnen

Genauso habe ich auch angefangen... Einfacher würde es gehen, wenn man sin(alpha)=tan(alpha) annehmen könnte (da es sich ja nnähernd gleich verhält)! Kann man das bei dieser Aufgabe machen???

[Niggi]

ich hab letztendlich es genau gemacht und sin und tan nicht gleich gesetzt, sondern alpha über tan ausgedrückt und dann in sinus eingesetzt da gibts ne ganz schöne formel aus der formelsammlung bezüglich sin arc tan x , die hilft . alles weitere ging damit auch

[Stumpf.Alex]

Wie ist es denn nun mit der Kraft? F=mx=−mgsin()=FH?

also ich habe das dann nach x'' aufgelöst und transformiert.
Aber wie mache ich jetzt die Linearisierung, denn ich habe ja dann keine abhängigkeit von x?! oder muss cih da jetzt z(x) noch mit reinbringen

In der Aufgabenstellung steht dazu folgender Hinweis: Dazu ist die Größe F (bzw. \(\alpha\)) als geeignete Funktionen von x in die gegebene Differentialgleichung einzusetzen.

[TCE]

ich hab letztendlich es genau gemacht und sin und tan nicht gleich gesetzt, sondern alpha über tan ausgedrückt und dann in sinus eingesetzt da gibts ne ganz schöne formel aus der formelsammlung bezüglich sin arc tan x , die hilft . alles weitere ging damit auch

hast du das additionstheorem genommen oder hast du einfach mit sin(arctan x) weiter integriert??

[m_stoica]

Die Formel ist wahrscheinlich gemeint: \(\sin(\arctan(\alpha)) = \frac {\alpha} { \sqrt {\alpha^2+1}}\)

[Osterlaus]

Auf der CE-Seite gibts jetzt einen kleinen Tipp:

Hinweis zu A1 a): Um das System (x''= ... ) in die Form "x'=f(x)" zu bringen, muss eine Transformation auf Ordnung 1 stattfinden. Das entstehende Differentialgleichungssystem muss nicht analytisch gelöst werden.

- kommt ihr dann auch auf ein System erster Ordnung mit zwei Dimensionen, das vergleichsweise einfach ausschaut?

[Stumpf.Alex]

@ Stumpf.Alex
Okay, danke. Das ist dann soweit klar mit dem x, nur würde dann daraus folgen, dass \(F= m \ddot x \ne -mg \sin(\alpha) = F\).
Also wären die zwei Fs verschieden. Die Hangabtriebskraft zeigt ja nicht in die Richtung horizontal zur x-Achse.

Ich kanns dir auch nicht erklären, aber ich bin mal so frei den Assistenten zu zitieren:

Hallo,
in der Tat ist die Modellierung hier etwas idealisiert. Damit man das so schreiben kann sollte man vielleicht auf krummlinige Koordinaten gehen...
Langer rede kurzer Sinn: Die Vorzeichen der Kräfte F sind hier so gewählt, dass es passt. Ich werde am Montag in der Übung noch was dazu sagen.

[TCE]

@ Stumpf.Alex
Okay, danke. Das ist dann soweit klar mit dem x, nur würde dann daraus folgen, dass \(F= m \ddot x \ne -mg \sin(\alpha) = F\).
Also wären die zwei Fs verschieden. Die Hangabtriebskraft zeigt ja nicht in die Richtung horizontal zur x-Achse.

Ich kanns dir auch nicht erklären, aber ich bin mal so frei den Assistenten zu zitieren:

Hallo,
in der Tat ist die Modellierung hier etwas idealisiert. Damit man das so schreiben kann sollte man vielleicht auf krummlinige Koordinaten gehen...
Langer rede kurzer Sinn: Die Vorzeichen der Kräfte F sind hier so gewählt, dass es passt. Ich werde am Montag in der Übung noch was dazu sagen.

heißt das, dass man die Gleichung F=mx'' nur als Formel sehen sollte und F=mz'' eingesetzt werden muss ???

[samy-delux]

Ich habe es jetzt so gemacht:

\(z'(x) = tan(\alpha)\) gesetzt und mit der Regel von die m_stoica hier auch schon gepostet hat etwas vereinfacht
Das in das F der Hangabtriebskraft eingesetzt
Dann \(F=mx'' = -mgsin(\alpha) = F\) gesetzt ( ist das denn jetzt erlaubt? )
Durch rauskürzen von m nach \(x''\) umgestellt und dann in ein System erster Ordnung umgewandelt.

Wäre nett wenn mir jemand sagen könnte ob ich total falsch liege und ob das gleichsetzen der beiden \(F\) jetzt erlaubt ist.
Danke!

[Osterlaus]

Ganz blöd zwischendurch: Können wir mal die Gleichgewichtspunkte vergleichen? Ich komme auf (0.81 / -1.1) und (-0.81 / 1.1)....

[Stumpf.Alex]

\(F=m\ddot x\) und \(F= -mgsin(\alpha)\) beschreiben beide das gleiche \(F\).

[kned]

Also ich komme wegen -10 sin( arctan( z'(x))) = 0 auf die Ruhepunkte x = +- sqrt(2/3)
Allerdings bringt mich das auch nicht weiter, weil damit die Jacobi matrix mit eingesetztem Xs \(\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}\) ergibt -> Eigenwerte: 0 -> kann nicht stimmen? -.-

[samy-delux]

Irgendwie kann ich nicht ganz finden, wie ich die Gleichgewichtspunkte der DGL bestimme.
Zufällig da wo \(z'(x)=0\) ?

Wo kann ich das nachlesen?

Das Beispiel aus der Vorlesung hilft mir dabei irgendwie nicht, da es sich ja hier um ein DGL 1. Ordnung aber 2. Dimension.

Muss ich, wenn ich die Punkte habe, diese in die Jacobi Matrix einsetzen?
Wenn ja, liege ich richtig, dass der \(\frac{∂f_2}{∂x_2}\) Teil der Jacobi Matrix extrem umständlich ist ?