ich würde behaupten x'' = 0 setzen. Nur dass 0 ein Vektor ist, der Form: \(\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix}\)samy-delux hat geschrieben:Irgendwie kann ich nicht ganz finden, wie ich die Gleichgewichtspunkte der DGL bestimme.
Zufällig da wo \(z'(x)=0\) ?
Stumpf.Alex hat geschrieben:Warum denn nicht? x beschreibt die Position auf dem Graphen.m_stoica hat geschrieben:\(F=m \ddot x\) und
\(z(x) = x^3 - 3x\)
dabei kann es sich aber kaum um das selbe x handeln.
Ich verstehe die Modellierungsvorgaben nicht im Zusammenhang mit dem von dir gesagtem. Also angenommen x(t) beschreibt wirklich nur die x-Komponente dann wäre \(c(t) = \begin{pmatrix}Stumpf.Alex hat geschrieben:\(F=m\ddot x\) und \(F= -mgsin(\alpha)\) beschreiben beide das gleiche \(F\).
Japab26iget.stud.tu hat geschrieben:eine kleine Frage !!
Ist alpha der Winkel zwischen der Tangente und der X-Achse ??
Aber seine Höhe ist von \(z(x)\) abhängig. Und desto schneller er fällt, desto weiter bewegt er sich in einem Zeitraum \(\delta t\). Ist alles ein bisschen idealisiert hier.Render hat geschrieben: Ich verstehe die Modellierungsvorgaben nicht im Zusammenhang mit dem von dir gesagtem. Also angenommen x(t) beschreibt wirklich nur die x-Komponente dann wäre \(c(t) = \begin{pmatrix}
x(t) \\
z(x(t))
\end{pmatrix}\) die Position der Kugel zum Zeitpunkt t. Die Steigung der Funktion z wächst unbeschränkt also finden wir irgend einen Punkt x(0) an dem alpha = 89.999 ist. Wenn beide Formeln wie von dir beschrieben das gleiche F beschreiben würde gelten \(\ddot x = -gsin(\alpha)\) und somit \(\ddot x = -gsin(89.999)\approx -g\). Interpretieren wir \(\ddot x\) als Beschleunigung der x-Komponente der Position der Kugel so würde die Kugel fast nur nach links beschleunigt werden und so gut wie gar nicht nach unten, denn der Beschleunigungsvektor kann nicht länger wie g sein, und die Kugel würde einfach von der Bahn nach links fliegen.
Also die Kugel kann sich nicht von der vorgegebenen Bahn entfernen? Nehmen wir mal für einen Moment an wir hätten anstatt z(x) die Bahn \(f(x)=tan(89.9)x\) mit konstanter Steigung und den Startpunkt \(x(0)=0\) sowie \(\dot x(0) = 0\) , dann wäre \(\ddot x(t) = -gsin(89.9)\) und Integrieren ergibt \(\dot x(t) = -gsin(89.9)t\) sowie \(x(t)=-0.5*gsin(89.9)t^2\). Also ist \(x(1) = -0.5*10*sin(89.9) \approx -5\) und \(f(-5) \approx -2864\). Das bedeuted die Kugel hat in einer Sekund ca 2864m zurückgelegt bei einer Startgeschwindigkeit von 0? Allein durch die Erdbeschleunigung?Stumpf.Alex hat geschrieben:Aber seine Höhe ist von \(z(x)\) abhängig. Und desto schneller er fällt, desto weiter bewegt er sich in einem Zeitraum \(\delta t\). Ist alles ein bisschen idealisiert hier.Render hat geschrieben: Ich verstehe die Modellierungsvorgaben nicht im Zusammenhang mit dem von dir gesagtem. Also angenommen x(t) beschreibt wirklich nur die x-Komponente dann wäre \(c(t) = \begin{pmatrix}
x(t) \\
z(x(t))
\end{pmatrix}\) die Position der Kugel zum Zeitpunkt t. Die Steigung der Funktion z wächst unbeschränkt also finden wir irgend einen Punkt x(0) an dem alpha = 89.999 ist. Wenn beide Formeln wie von dir beschrieben das gleiche F beschreiben würde gelten \(\ddot x = -gsin(\alpha)\) und somit \(\ddot x = -gsin(89.999)\approx -g\). Interpretieren wir \(\ddot x\) als Beschleunigung der x-Komponente der Position der Kugel so würde die Kugel fast nur nach links beschleunigt werden und so gut wie gar nicht nach unten, denn der Beschleunigungsvektor kann nicht länger wie g sein, und die Kugel würde einfach von der Bahn nach links fliegen.
Richtig, in diesem Modell kann sie das nicht.Render hat geschrieben:Also die Kugel kann sich nicht von der vorgegebenen Bahn entfernen?
Wie gesagt, die Übungsaufgabe ist für das Problem idealisiert. Das heißt es wurden nicht ausgesprochene Annahmen und Vereinfachungen gemacht, die das Problem für die Bearbeitung der Übung vereinfachen.Render hat geschrieben:Nehmen wir mal für einen Moment an wir hätten anstatt z(x) die Bahn \(f(x)=tan(89.9)x\) mit konstanter Steigung und den Startpunkt \(x(0)=0\) sowie \(\dot x(0) = 0\) , dann wäre \(\ddot x(t) = -gsin(89.9)\) und Integrieren ergibt \(\dot x(t) = -gsin(89.9)t\) sowie \(x(t)=-0.5*gsin(89.9)t^2\). Also ist \(x(1) = -0.5*10*sin(89.9) \approx -5\) und \(f(-5) \approx -2864\). Das bedeuted die Kugel hat in einer Sekund ca 2864m zurückgelegt bei einer Startgeschwindigkeit von 0? Allein durch die Erdbeschleunigung?
öhm, ich bezweifle mal, dass es drei Gleichgewichtslösungen gibt. Pottentiel kommen doch nur die zwei Extrema der Funktion in Frage.kutschke hat geschrieben:Hi! Kann es sein dass bei (b) und (c) drei Fälle instabil sind und einer, wo man keine Aussage treffen kann?
Ist mit Tangente die Steigung in einem bestimmten Punkt gemeint??Stumpf.Alex hat geschrieben:Japab26iget.stud.tu hat geschrieben:eine kleine Frage !!
Ist alpha der Winkel zwischen der Tangente und der X-Achse ??
Hallo! Klar gibt es zwei, aber bei (b) und (d) sind es ja jeweils zwei, das meinte ich. Ich fand halt seltsam, dass bei mir rauskommt, in dem minimalen Punkt ist bei (a) keine Aussage möglich und bei (d) ist es instabil. Wenn ich mir das bildlich vorstelle finde ich das es im Minimum doch eigentlicht stabil sein müsste. Wenn der Ball ein bisschen nach nach rechts und links kullert rollt er ja wieder zurück. Oder heißt Stabilität, dass egal von wo man startet das System in diesen Zustand zurückkehren wird? Irgendwie finde ich ihn in dem Fall nur mäßig nützlich.m_stoica hat geschrieben:öhm, ich bezweifle mal, dass es drei Gleichgewichtslösungen gibt. Pottentiel kommen doch nur die zwei Extrema der Funktion in Frage.kutschke hat geschrieben:Hi! Kann es sein dass bei (b) und (c) drei Fälle instabil sind und einer, wo man keine Aussage treffen kann?
Ich kann mir kaum vorstellen, dass die Kugel an einem Ort zum Stillstand kommen kann, an dem die Steigung != 0 ist.
