Ü5 Aufg 1

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m_stoica
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Ü5 Aufg 1

Beitrag von m_stoica »

Hallo,

wir haben in der Aufgabe 1 zwei Gleichungen in denen das x vorkommt:
\(F=m \ddot x\) und
\(z(x) = x^3 - 3x\)
dabei kann es sich aber kaum um das selbe x handeln.
Um welches x handelt es sich nun also in der Differentialgleichung die wir bestimmen sollen?
Handelt es sich eigentlich bei \(\dot x = f(x)\) um einen Vektor, es ist nämlich nicht fett gedruckt?
Gruß,
Michael

Stumpf.Alex
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von Stumpf.Alex »

m_stoica hat geschrieben:\(F=m \ddot x\) und
\(z(x) = x^3 - 3x\)
dabei kann es sich aber kaum um das selbe x handeln.
Warum denn nicht? x beschreibt die Position auf dem Graphen.

Niggi
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von Niggi »

ich frag mich viel eher wie ich den winkel alpha verpacke ....
ich mein dass ich alpha über tan und ableitung von z ausdrücken kann ist schonmal ne idee gewesen aber damit weiterzurechnen is ne qual selbst wenn ich aus der formelsammlung sin arc tan x nachschlagen kann ist es nicht gerade ein schönes oder angenehmes rechnen wenn man die jacobi matrix A bestimmen will .... vielleicht jemand nen tipp wie man alpha verpackt ? das Vorgehen und wie die aufgabe nach finden der Diffgleichung abläuft ist relativ einleuchtend und schema f.

danke und grüße

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m_stoica
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von m_stoica »

Stumpf.Alex hat geschrieben:
m_stoica hat geschrieben:\(F=m \ddot x\) und
\(z(x) = x^3 - 3x\)
dabei kann es sich aber kaum um das selbe x handeln.
Warum denn nicht? x beschreibt die Position auf dem Graphen.

Also ich hatte es so verstanden, dass (x|z(x)) die Position des Massepunktes beschreibt.
Wenn dem nicht so ist, dann Frage ich mich warum die X-Achse mit x beschriftet ist.
Im anderen Falle, müsste \(\ddot x\) jedoch eine Beschleunigung parallel zur X-Achse und somit
F eine Kraft Parallel zur X-Achse sein.

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Puppetmaster
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von Puppetmaster »

Und noch etwas. Muss es F = mx'' oder F = -mx'' heißen? Denn unten wird der Reibungskoeffizient als Erweiterung von F=-mx'' eingeführt.

Und wieso ist die Hangabtriebskraft eigentlich negativ? Wenn alpha = 90 hätte die Kugel eine Hangabtriebgskraft von -mg, würde also mit der Erdbeschleunigung gemäß ihrer Masse nach oben Fallen.

Kann es sein, dass das minus zum anderen F gehören sollte?

Stumpf.Alex
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von Stumpf.Alex »

m_stoica hat geschrieben:Um welches x handelt es sich nun also in der Differentialgleichung die wir bestimmen sollen?
Handelt es sich eigentlich bei \(\dot x = f(x)\) um einen Vektor, es ist nämlich nicht fett gedruckt?
Also x ist einfach ein Wert der auf der Absizze des Graphens abgebildet wird, also ein Teil der Koordinate des Balls im 2. dimensionalen dargestellten Raum. Die zweite Komponenten lässt sich dann ganz simple mit der Formel \(z(x)\) berechnen.
\(\dot x = f(x)\) handelt es sich nicht um irgendeinen fießen versteckten Vektor, sondern \(\dot x\) beschreibt ganz simple die erste Ableitung der x-Koordinate des Balles. \(\ddot x\) analog die zweite Ableitung von \(x\). Was der Hintergrund der Ableitungen ist, da kann sich hoffentlich der ein oder andere aus dem Physikunterricht in der Schule erinnern.

tzeenie
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von tzeenie »

Hi *!
Also ich habe doch erhebliche Probleme mit der Aufgabe, komme einfach nicht weiter, wahrscheinlich weil mein Ansatz komplett falsch ist:
Ich nehme mal an, dass \(sin(\alpha) = z'(x) = 3x^2 -2\), also die 1. Ableitung unserer Kurve entspricht dem Sinus des Winkels mit der x-Achse.

Da \(F=-mg sin(\alpha)\) erhalte ich die DGL: \(\dot{x}=-mgz'(x)\) bzw. umgeformt \(\dot{x}=-3mgx(t)^2 + 2mg\).
Soweit richtig!?

Falls ja handelt es sich doch hier um eine nichtlineare gewöhnliche DGL 1. Ordnung (Riccatische)? Deren Lösung im Allgemeinen.... ääääh, wie lautet? :oops:

Hab mir das Vektorfeld mal angeschaut, und es entspricht soweit meiner Intuition, i.d.S. dass sich im "Tal" und auf dem kleinen "Hügel" die DGL 0 nähert (sich also in der Nähe die gesuchten Gleichgewichtspunkte befinden). Bloß: wie errechne ich das denn jetzt? Kann mir jmd einen Tipp geben?? Natürlich könnte man einfach die lokalen Extrema von \(z(x)\) bestimmen, aber nur weil einem "klar" ist, dass die Kugel dort ein Gleichgewicht erreichen kann. Ich glaube nicht, dass das dem Sinn der Aufgabe entspricht, oder?

Wenn ich versuche das entsprechend in das Matrix-Schema umzuformen, habe ich doch ein x(t) in Matrix A. :roll: (Was ja auch klar ist, wenn man bedenkt, dass die Gleichung nichtlinear ist. :wink:)

Gruß!

eesti
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von eesti »

wir sind auch grad mit der Aufgabe beschäftigt.
unsere erste Überlegung war, über die Kräfte F, x'' auszurechnen und daraus dann x'.
Aber dann ist uns aufgefallen, dass x' ein vektor sein müsste mit Dimension 2.
Brauche ich dann dafür die Funktion z(x), die von x abhängt. Aber kann ich sagen, dass x' von x abhängtn :?: :?:

wäre gut, wenn jemand mal ein paar Tipps dazu geben könnte

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m_stoica
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von m_stoica »

@ Stumpf.Alex
Okay, danke. Das ist dann soweit klar mit dem x, nur würde dann daraus folgen, dass \(F= m \ddot x \ne -mg \sin(\alpha) = F\).
Also wären die zwei Fs verschieden. Die Hangabtriebskraft zeigt ja nicht in die Richtung horizontal zur x-Achse.

Stumpf.Alex
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von Stumpf.Alex »

Puppetmaster hat geschrieben:Und noch etwas. Muss es F = mx'' oder F = -mx'' heißen? Denn unten wird der Reibungskoeffizient als Erweiterung von F=-mx'' eingeführt.

Und wieso ist die Hangabtriebskraft eigentlich negativ? Wenn alpha = 90 hätte die Kugel eine Hangabtriebgskraft von -mg, würde also mit der Erdbeschleunigung gemäß ihrer Masse nach oben Fallen.

Kann es sein, dass das minus zum anderen F gehören sollte?
Ja da hat sich der böse Fehlerteufel eingeschlichen.
Bitte den Post hier lesen: http://www.fachschaft.informatik.tu-dar ... 92&t=17302

Danke für den Hinweis.

Stumpf.Alex
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von Stumpf.Alex »

tzeenie hat geschrieben:Hi *!
Also ich habe doch erhebliche Probleme mit der Aufgabe, komme einfach nicht weiter, wahrscheinlich weil mein Ansatz komplett falsch ist:
Ich nehme mal an, dass \(sin(\alpha) = z'(x) = 3x^2 -2\), also die 1. Ableitung unserer Kurve entspricht dem Sinus des Winkels mit der x-Achse.
\(sin(\alpha)\) beschreibt nicht die Steigung die vom Winkel \(\alpha\) aufgestellt wird.
tzeenie hat geschrieben:Hi *!
Hab mir das Vektorfeld mal angeschaut, und es entspricht soweit meiner Intuition, i.d.S. dass sich im "Tal" und auf dem kleinen "Hügel" die DGL 0 nähert (sich also in der Nähe die gesuchten Gleichgewichtspunkte befinden). Bloß: wie errechne ich das denn jetzt? Kann mir jmd einen Tipp geben?? Natürlich könnte man einfach die lokalen Extrema von \(z(x)\) bestimmen, aber nur weil einem "klar" ist, dass die Kugel dort ein Gleichgewicht erreichen kann. Ich glaube nicht, dass das dem Sinn der Aufgabe entspricht, oder?
Zum Thema Stabilität und Gleichgewichtslösungen gibts es im Skript entsprechende Folien (Eigenwerte...usw) ;).

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Diablo
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Re: Ü5 Aufg 1 (a)

Beitrag von Diablo »

also ich hab jetzt noch mal zur Sicherheit eine Frage bezüglich der Aufgabe 1.a (Aufstellen der Differentialgleichung )

Es gibt zwei Angaben für F.
F = mx'' & F = -mgsin(a).

Ich bin dann wie folgt vor gegangen:

1. beide F angaben gleich setzen
2. Umstellen nach x'' = ....
3. x'' = y'(x) ( x' = y(x) ) woraus folgt y'(x) = ....

Ist das so in Ordnung oder sollte ich die Stammfunktion bilden von x'' ?

Stumpf.Alex
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von Stumpf.Alex »

In der Aufgabe steht "Erstellen Sie aus den Angaben ein Differentialgleichungsmodell der Form "\(\dot x = f(x)\)“. Auf deutsch: Wir suchen ein DGL-System 1. Ordnung.

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m_stoica
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von m_stoica »

Wie ist es denn nun mit der Kraft? \(F= m \ddot x = -mg \sin(\alpha) = F_H\)?

eesti
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Re: Ü5 Aufg 1

Beitrag von eesti »

m_stoica hat geschrieben:Wie ist es denn nun mit der Kraft? F=mx=−mgsin()=FH?
also ich habe das dann nach x'' aufgelöst und transformiert.
Aber wie mache ich jetzt die Linearisierung, denn ich habe ja dann keine abhängigkeit von x?! oder muss cih da jetzt z(x) noch mit reinbringen :?:

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