Übung 1 - A2

Taldera
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Übung 1 - A2

Beitrag von Taldera »

Hallo,
ich habe eine Frage zur A2 (oder eigentlich mehr zu den Einführungsfolien für DGLn):
Um lineare Differentialgleichungssysteme der Form: x'(t) = Ax(t) zu lösen, muss man doch die Eigenwerte und Eigenvektoren der Matrix A bestimmen.
In den Einführungsfolien heißt es hier ständig (\(\lambda\)I - A), in Mathe war die Formel allerdings umgekehrt: (A - \(\lambda\)I). Bei den Eigenwerten scheint das keinen Unterschied zu machen, bei den Eigenvektoren bekomme ich allerdings zwei verschiedene Ergebnisse raus.
Meine Frage also: ist es generell egal, wie rum man die Formel schreibt (hab ich mich also vielleicht einfach verrechnet) oder macht es nur bei den Eigenvektoren einen Unterschied und welche ist dann zu benutzen?

Bin leider noch sehr verwirrt wenn es ums Thema DGLn geht und hoffe auf hilfreiche Antworten ^^
Bye

Synex
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Re: Übung 1 - A2

Beitrag von Synex »

Dürfte eigentlich keinen Unterschied machen, da wir ja von der Gleichung \(\lambda*c*e^{\lambda*t} = A*c*e^{\lambdat*t}\) ausgehen und diese umformen (entweder linke Seite auf rechte Seite bringen oder umgekehrt und dann ausklammern). Daher geht dann \(A - \lambda\) oder \(\lambda - A\)

Taldera
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Re: Übung 1 - A2

Beitrag von Taldera »

Hm,
ich hab gestern Abend mal mit nem Mathe-Student gesprochen, der meinte, dass es schon einen Unterschied macht (zumindest bei den Eigenvektoren) und \((A - \lambda I)\) sei richtig. Ich habs auch mehrmals gerechnet und immer zwei verschiedene Eigenvektoren rausgekriegt.
Ein Beispiel:

\(A = \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 2 \end{matrix}\right)\)

Eigenwerte:
\(det(A - \lambda I) = \left(\begin{matrix} 1-\lambda & 2 \\ 0 & 2-\lambda \end{matrix}\right) = (1 - \lambda)(2 - \lambda) = 0\)
also: \(\lambda_1 = 1, \ \lambda_2 = 2\)

\(det(\lambda I - A) = \left(\begin{matrix} \lambda -1 & 2 \\ 0 & \lambda-2 \end{matrix}\right) = (\lambda - 1)(\lambda-2) = 0\)
also: \(\lambda_1 = 1, \ \lambda_2 = 2\)

ABER:
Eigenvektoren:

\((A - \lambda_2 I) * x_2 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \left(\begin{matrix} -1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right) * x_2 = 0 \ \ \ \ \ \ \ x_2 = \left(\begin{matrix} 2 \\1 \end{matrix}\right) * a_2\)

\((\lambda_2 I - A) * v_2 = 0 \ \ \ \ \ \ \ \left(\begin{matrix} 1 & 2 \\ 0 & 0 \end{matrix}\right) * v_2 = 0 \ \ \ \ \ \ \ v_2 = \left(\begin{matrix} -2 \\1 \end{matrix}\right) * c_2\)

\(x_2 \not= v_2\) !!!

Also wenn wir für die DGLn Eigenvektoren ausrechnen sollen, dann muss es so rum gemacht werden. Oder sieht jemand einen Fehler?

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MisterD123
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Re: Übung 1 - A2

Beitrag von MisterD123 »

-A -> da muss oben rechts in der matrix der letzten zeile eine -2 statt +2 stehen -> x2 = -v2
(selber fehler übrigens auch in der determinante von Ih-A, aber da fließt die 2 nicht in die berechnung weiter ein.

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marlic
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Re: Übung 1 - A2

Beitrag von marlic »

... und dann sind die beiden Vektoren nur vielfache voneinander also wird der gleiche Eigenraum erzeugt.
"Copy & Passed"

Wahlspruch der Plagiatoren

Christian_Werner
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Re: Übung 1 - A2

Beitrag von Christian_Werner »

Marlic hat's erkannt. Wunderbar! :)

Ich möchte aber darum bitten in Zukunft keine kompletten Rechenwege mehr ins Forum zu stellen. :roll:
Gruß,
Christian

Taldera
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Re: Übung 1 - A2

Beitrag von Taldera »

Ah, danke für die Antworten ^^
Jetzt seh ichs auch!

PS:
Ist ja nicht so, dass es die Lösung der Hausaufgabe ist. Ich hab bloß gefragt, wie das mit der Eigenwert und Eigenvektor Berechnung ist ... :roll:

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