3.1 log

Tobias Stöckert
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3.1 log

Beitrag von Tobias Stöckert »

Hallo,

ist mit log ohne Basis der Logarithmus mit Basis 10 gemeint oder der natürliche Logarithmus?

Prof. Karsten Weihe
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Re: 3.1 log

Beitrag von Prof. Karsten Weihe »

Tobias Stöckert hat geschrieben: ist mit log ohne Basis der Logarithmus mit Basis 10 gemeint oder der natürliche Logarithmus?
In Vorlesung / Foliensatz zum Thema ist erläutert, dass die Basis des Logarithmus für asymtptische Betrachtungen egal ist, da die beiden Logarithmenfunktion zu den Basen \(a,b>1\) sich nur um den konstanten multiplikativen Faktor \(\log_ab\) unterscheiden.

KW

NonStop
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Re: 3.1 log

Beitrag von NonStop »

Prof. Karsten Weihe hat geschrieben: In Vorlesung / Foliensatz zum Thema ist erläutert, dass die Basis des Logarithmus für asymtptische Betrachtungen egal ist, da die beiden Logarithmenfunktion zu den Basen \(a,b>1\) sich nur um den konstanten multiplikativen Faktor \(\log_ab\) unterscheiden.

KW
Aber wenn man für log den nat. Logarithmus einsetzt, dann gilt
log(n^2) == e^log(log(n^2))
aber
log(n^2) != e^log(log(n^2))
für log mit Basis 10. Die Einordnung der Funktion e^log(log(n^2)) wird also unterschiedlich sein, je nachdem welche Basis man wählt

Prof. Karsten Weihe
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Re: 3.1 log

Beitrag von Prof. Karsten Weihe »

NonStop hat geschrieben: Aber wenn man für log den nat. Logarithmus einsetzt
Wie in der Vorlesung gesagt, ist die Basis beim Logarithmus egal wegen \(\log_a(n)/\log_b(n)=\log_b(a)=\)const.

KW

KaeferZuechter
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Re: 3.1 log

Beitrag von KaeferZuechter »

Prof. Karsten Weihe hat geschrieben:
NonStop hat geschrieben: Aber wenn man für log den nat. Logarithmus einsetzt
Wie in der Vorlesung gesagt, ist die Basis beim Logarithmus egal wegen \(\log_a(n)/\log_b(n)=\log_b(a)=\)const.

KW

Es geht denke ich um sowas:
\(b_{1}^{\log_{b_2} (n)}=b_{2}^{\log_{b_2}(b_{1}) \cdot \log_{b_2} (n)}=n^{\log_{b_2}(b_{1})}=n^{\frac{\log(b_1)}{\log(b_2)}}\)

Solche Konstrukte werden in der Theorieübung abgefragt. Fürs Umformen wäre es da u.U. sinnvoll zu sehen, welche Basen verwendet werden, da sich entstehende Monome ja durchaus unterscheiden können.
Ich dachte eigentlich, dass \(\log\) (ohne Angabe einer anderen Basis) für den Logarithmus zur Basis 2 steht, \(\ln\) für den natürlichen und \(\lg\) für den dekadischen Logarithmus.

Konkretes Beispiel (ich hoffe mal, dass ich nicht allzuviel Blödsinn gerechnet habe und dass auch niemand sauer ist, dass ich diese "Lösung" poste :oops: ):
Ergibt \(\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{e^{\log \log n^2}}{\log n^{2}}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{b^{\log_b(e) \log_b \log n^2}}{\log n^{2}}=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{(\log n^2)^{\log_b e}}{\log n^{2}}\)
a) \(\lim_{n \rightarrow \infty} 1 = 1 \Rightarrow f \in \Theta(g)\) (Das wäre der Fall für \(\log := \ln\))
b) \(\lim_{n \rightarrow \infty}(\log_b n)^{(\log_b e)-1}=\infty \Rightarrow f \in \Omega(g)\) für \(b < e\) bspw. \(b=2\)
c) \(\lim_{n \rightarrow \infty}(\log_b n)^{(\log_b e)-1}=0 \Rightarrow f \in \mathcal O(g)\) für \(b > e\) bspw. \(b=10\)


PS.: Die Frage nach \(42^{42}\) in der Übung finde ich klasse. :D
Minimaler Energieverbrauch einer irreversiblen Berechnung war doch \(k_B T \ln 2\) wenn ich mich nicht täusche?
IT'S CALLED A FOURIER TRANSFORM WHEN YOU TAKE A NUMBER AND CONVERT IT TO THE BASE SYSTEM WHERE IT WILL HAVE MORE FOURS, THUS MAKING IT "FOURIER". IF YOU PICK THE BASE WHERE IS HAS THE MOST FOURS, THE NUMBER IS SAID TO BE "FOURIEST".

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Janosch
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Re: 3.1 log

Beitrag von Janosch »

<>
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Janosch
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Re: 3.1 log

Beitrag von Janosch »

KaeferZuechter hat geschrieben: Es geht denke ich um sowas:
\(b_{1}^{\log_{b_2} (n)}=b_{2}^{\log_{b_2}(b_{1}) \cdot \log_{b_2} (n)}=n^{\log_{b_2}(b_{1})}=n^{\frac{\log(b_1)}{\log(b_2)}}\)

Solche Konstrukte werden in der Theorieübung abgefragt.
Ich hoffe inständig das dies nicht der Fall ist. Weder in der Vorlesung, noch im Wiki habe ich eine solche Umformung gesehen. Vielleicht kannst du mir einen entsprechenden Link geben.

Unter anderem ging es doch lediglich darum, das die Basis für die Komplexität durch \(\log_a(n)/\log_b(n)=\log_b(a)\) als eine Konstante gilt und somit nicht relevant ist. Wie kommst du auf so einen Bahnhof?

KaeferZuechter
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Re: 3.1 log

Beitrag von KaeferZuechter »

Janosch hat geschrieben:
KaeferZuechter hat geschrieben: Es geht denke ich um sowas:
\(b_{1}^{\log_{b_2} (n)}=b_{2}^{\log_{b_2}(b_{1}) \cdot \log_{b_2} (n)}=n^{\log_{b_2}(b_{1})}=n^{\frac{\log(b_1)}{\log(b_2)}}\)

Solche Konstrukte werden in der Theorieübung abgefragt.
Ich hoffe inständig das dies nicht der Fall ist. Weder in der Vorlesung, noch im Wiki habe ich eine solche Umformung gesehen. Vielleicht kannst du mir einen entsprechenden Link geben.

Unter anderem ging es doch lediglich darum, das die Basis für die Komplexität durch \(\log_a(n)/\log_b(n)=\log_b(a)\) als eine Konstante gilt und somit nicht relevant ist. Wie kommst du auf so einen Bahnhof?
Die Umformungen kommen auf, wenn man die Funktionen nach Komplexität ordnen will.
Siehe obige Rechnung. Das sind zwei der zu vergleichenden Funktionen vom dritten Übungsblatt, also aus der Aufgabe 3.1.

Mein Konstrukt oben ist nur die Verallgemeinerung. Die Basis ist in dem Moment nicht mehr irrelevant, in dem der logarithmische Ausdruck im Exponenten auftaucht.
Vergleiche auch sowas:
\(\ln(n^2)=2\ln(n)=\Theta(\ln(n))\) jedoch \(e^{\ln(n^2)}=n^2 \neq \Theta(e^{\ln(n)})=\Theta(n)\)

Die Umformung von Potenzen und/mittels Logarithmen ist Schulmathematik.
Das darf also durchaus vorausgesetzt werden.
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Janosch
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Re: 3.1 log

Beitrag von Janosch »

So erklärt leuchtets mir natürlich ein :)

Eine Sache noch:
KaeferZuechter hat geschrieben: Mein Konstrukt oben ist nur die Verallgemeinerung. Die Basis ist in dem Moment nicht mehr irrelevant, in dem der logarithmische Ausdruck im Exponenten auftaucht.
In wiefern war dies jetzt bei 3.1 notwendig?
Eine derartige Umformung wäre doch lediglich beim Vergleich von \(e^{\log \log n^2}\) und \((\log n)^{\log \log n}\) nötig. Die Komplexität wäre dann durch \(e^{\log \log n^2} = e^{\log 2*\log n}\) logisch weil \(e^{\log \log n} \in \mathcal O(n^{\log n})\).

Dadurch wäre doch \(\log n\) eine variable Abhängigkeit im Gegensatz zu \(e\) und somit würde doch gelten \(e^{\log \log n^2} < (\log n)^{\log \log n}\).

Außer natürlich ich bin wieder auf dem Holzweg.

KaeferZuechter
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Re: 3.1 log

Beitrag von KaeferZuechter »

Janosch hat geschrieben: \(e^{\log \log n} \in \mathcal O(n^{\log n})\).
Die Umformung stimmt nicht ganz (auch wenn die Aussage natürlich formal richtig ist). Für \(\log := \ln\) ergibt sich \(e^{\log \log n}=\log n\).
Für \(\log := \log_b\) ergibt sich \(e^{\log \log n}=(\log n)^{\log_b(e)}\).
\(n^{\log n}\) hingegen ist \(e^{\log^2n} \neq e^{\log \log n}\)
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Re: 3.1 log

Beitrag von felicis »

Ich habe lange an einer Rechnung gesessen und habe gerade aufgegeben, weil es mir zu viel wurde!
Das Problem: ich habe zum Test den Grenzwert \(\lim_{n\to\infty}\ {e^{log(log(n^2))}\over\sqrt{log(n)}}\) in WolframAlpha eingegeben und habe ein erstaunliches Ergebnis erhalten:
Mit \(log(n):=ln(n)\) kommt als Grenzwert \(\infty\) heraus, mit \(log(n):=log_{10}(n)\) kommt dagegen null heraus!!!
Bei dem ersten Fall habe ich das auch nachgerechnet, aber der zweite ist mir zu aufwendig...
Wie kann es aber sein, dass wir über die Basis abstrahieren, diese dann aber anscheinend ausschlaggebend für die Äquivalenzklasse ist?!

...oder natürlich ich stehe grad richtig auf dem Schlauch, was auch gut sein kann ;)

KaeferZuechter
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Re: 3.1 log

Beitrag von KaeferZuechter »

felicis hat geschrieben:Ich habe lange an einer Rechnung gesessen und habe gerade aufgegeben, weil es mir zu viel wurde!
Das Problem: ich habe zum Test den Grenzwert \(\lim_{n\to\infty}\ {e^{log(log(n^2))}\over\sqrt{log(n)}}\) in WolframAlpha eingegeben und habe ein erstaunliches Ergebnis erhalten:
Mit \(log(n):=ln(n)\) kommt als Grenzwert \(\infty\) heraus, mit \(log(n):=log_{10}(n)\) kommt dagegen null heraus!!!
Bei dem ersten Fall habe ich das auch nachgerechnet, aber der zweite ist mir zu aufwendig...
Wie kann es aber sein, dass wir über die Basis abstrahieren, diese dann aber anscheinend ausschlaggebend für die Äquivalenzklasse ist?!

...oder natürlich ich stehe grad richtig auf dem Schlauch, was auch gut sein kann ;)

Das habe ich oben vorgerechnet.
Die Basis darf nicht abstrahiert werden, wenn sie im Exponenten steht!

\(e^{log_b(log(n^2))} = (\log n^2)^{\log_b(e)}= \left \lbrace \begin{array}{lclcl}
2\log n & =& \Theta(\log n) & {für} & b = e \\
(2\log n)^{1.44} &=& \Omega(\log n) & {für} & b = 2 \\
(2\log n)^{0.43} &=& \mathcal O(\sqrt{(\log n)}) & {für} & b = 10
\end{array}\right.\)


PS.: Komme gerade irgendwie nicht mit Latex klar. :oops:
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Re: 3.1 log

Beitrag von felicis »

Das ist natürlich schon einmal eine wichtige Information, dass im Exponenten nicht über die Basis des Logarithmus abstrahiert werden darf (irgendwie war ich zu doof dafür...)
KaeferZuechter hat geschrieben: \(e^{log_b(log(n^2))} = (\log n^2)^{\log_b(e)}= \left \lbrace \begin{array}{lclcl} 2\log n & =& \Theta(\log n) & {für} & b = e \\ (2\log n)^{1.44} &=& \Omega(\log n) & {für} & b = 2 \\ (2\log n)^{0.43} &=& \mathcal O(\sqrt{(\log n)}) & {für} & b = 10 \end{array}\right.\)
Das hier würde aber zum Problem führen, dass je nach dem wie man die Basis wählt unsere Reihenfolge anders ist: Wir haben ja \(\sqrt{\log n}\) und \(\log n^2 = 2 \log n\in\Theta(\log n)\)tatsächlich als Funtionen gegeben; hier stellt sich dann die Frage wie es sortiert werden soll?
Da offensichtlich gilt \(\mathcal O (\sqrt{\log n}) \cap \Omega(\log n) = \emptyset\), gibt es je nach Basis unterschiedliche eindeutige Reihenfolgen! Was sollen wir da nehmen?

felicis

PS: deine "<br> " in LaTeX kommen von Zeilenumbrüchen im Text! Einfach alles in eine Zeile, dann geht's ;)

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Re: 3.1 log

Beitrag von felicis »

Noch eine Frage:
Da ja die Basis des Logarithmus im Exponenten relevant ist, welche sollen wir dann nehmen...b = 10 oder b = e?
Ansonsten müsste ich mehrere unterschiedliche Reihenfolgen austellen!

felicis

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Re: 3.1 log

Beitrag von felicis »

Ich habe das Problem gerade noch einmal mit der sehr guten Funktion "plot" von WolframAlpha analysiert und habe folgende (nicht notwendigerweise exakte) Ergebnisse (Links in Zahlen):
\[ \lim_{n \to \infty} {e^{\log_b ( \log_b (n^2))} \over \log_b(n)} = \begin{cases} \infty, & \text{wenn} \; b \le e \\ 0, & \text{wenn} \; b \gt e \end{cases} \qquad \href{http://wolfr.am/5dz7llTB}{(1)} \]
\[ \lim_{n \to \infty} {e^{\log_b ( \log_b (n^2))} \over \sqrt{\log_b(n)}} = \begin{cases} \infty, & \text{wenn} \; b \le e^2 \\ 0, & \text{wenn} \; b \gt e^2 \end{cases} \qquad \href{http://wolfr.am/5dA6yKE6}{(2)} \]

Damit ist die Position der Exponentialfunktion zwischen den beiden anderen Funktionen wunderschön von der Basis des Logarithmus abhängig! :D 8)

Gruß
felicis

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