Übung 6 - 6.3

dominique.metz
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Re: Übung 6 - 6.3

Beitrag von dominique.metz »

Ich hänge beim Induktionsschritt fest.
Ich habe für k = 0 gezeigt, das \(log^k(n)\) \(\in\) O(n).
Nun habe ich mir beim Induktionsschritt überlegt, mit L'Hôpital zu zeigen, dass \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{log^{k+1}} {n} = 0\)
Damit wäre ja dann bewiesen, dass das Obere für alle k \(\in N\) gilt.
Da die Ableitung für \(log^{k+1}\) = \(k * log^k * \frac{1}{n}\) ist, habe ich dann nach k-vielen Schritten \(\lim\limits_{n \rightarrow \infty} \frac{k^k} {n}\). Und genau jetzt komme ich nicht weiter. Ich hoffe, mir kann jemand weiterhelfen.

sab
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Re: Übung 6 - 6.3

Beitrag von sab »

dominique.metz hat geschrieben:Da die Ableitung für \(log^{k+1}\) = \(k * log^k * \frac{1}{n}\) ist
Vielleicht ist hier schon ein Fehler: Ist die Ableitung nicht \(\frac{(k+1)log^{k}(n)}{n}\), da gilt \(f(x) = x^{n}\), dann ist \(f'(x) = n*x^{n-1}\)?

dominique.metz
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Re: Übung 6 - 6.3

Beitrag von dominique.metz »

Natürlich hast du recht. Weiterhin hab ich auch \(\frac{1}{n}\) beim Ableiten ausser Acht gelassen.
Ich glaub, dass ist nicht der richtige Lösungsweg, trotzdem danke für die Hilfe.

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JannikV
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Re: Übung 6 - 6.3

Beitrag von JannikV »

Doch doch, das ist ein guter weg. Denn was kann man mit konstanten Faktoren in Grenzwerten machen?...

VGVG

derDaniel
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Re: Übung 6 - 6.3

Beitrag von derDaniel »

sven.lohrmann hat geschrieben:Welche Basis ist eigentlich gemeint, wenn beim Logarithmus keine explizit angegeben ist?

Basis 10

Prof. Karsten Weihe
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Re: Übung 6 - 6.3

Beitrag von Prof. Karsten Weihe »

derDaniel hat geschrieben:
sven.lohrmann hat geschrieben:Welche Basis ist eigentlich gemeint, wenn beim Logarithmus keine explizit angegeben ist?
Basis 10
Achtung: Es gibt Kontexte, in denen per Konvention \(\log x:=\log_{10}x\) gesetzt wird. Aber in unserem Kontext heißt die weggelassene Basis einfach: Basis ist offengelassen. Das heißt je nach konkreter Situation: Entweder ist die Basis eh egal oder es ist eine Fallunterscheidung fällig.

KW

Eric_B
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Re: Übung 6 - 6.3

Beitrag von Eric_B »

wenn ich für k z.B. 1000 nehme dann ist doch dann ist doch log^k(n)>n für kleine k mag das ja noch gehen aber für große sehe ich da eigentlich keine Chance. (siehe auch die die Liste im Wiki).

Eric

Thomas Huxhorn
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Re: Übung 6 - 6.3

Beitrag von Thomas Huxhorn »

Du meinst für k,n gegen unendlich log^k(n) > n ?
Ich denke für unsere Betrachtung geht n gegen unendlich und k wird zwar groß, aber lange nicht unendlich.

Prof. Karsten Weihe
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Re: Übung 6 - 6.3

Beitrag von Prof. Karsten Weihe »

Thomas Huxhorn hat geschrieben: für unsere Betrachtung geht n gegen unendlich und k wird zwar groß, aber lange nicht unendlich.
Ja, \(k\) ist "beliebig, aber fest", wie es so schön in der Mathematik heißt. Das heißt, \(k\) geht nirgendwohin und wird weder groß noch klein, sondern bleibt konstant.

KW

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