Übung 6 - 6.3

[null]

Hallo!

In der Mathevorlesung haben wir gelernt, dass die Regel von Hospital nur bei Brüchen der mit der Grenzwertform 0/0 oder unendlich/unendlich angewandt werden darf. Hier erkenne ich diese Form aber nicht. Kann mir da jemand einen Tipp geben?

Vielen Dank

[Prof. Karsten Weihe]

Hallo!

In der Mathevorlesung haben wir gelernt, dass die Regel von Hospital nur bei Brüchen der mit der Grenzwertform 0/0 oder unendlich/unendlich angewandt werden darf. Hier erkenne ich diese Form aber nicht.

Es geht doch sowohl \(\log^k(n)\) als auch \(n\) gegen \(+\infty\) für \(n\rightarrow+\infty\), oder

KW

[null]

Hallo,

weil n gegen unendlich strebt, geht lim(n)^k gegen unendlich. n ist ja keine eigene Funktion. Die gegebene Funktion heißt ja lim^k(n). Sonst könnte ich Hospital ja auch bei f(x) = x anwenden, was aber definitiv falsch ist.

"Dieser Satz[Satz von Hospital] hat viele Voraussetzungen und diese sind wirklich alle nötig! Im Eifer des Gefechts gegen einen hartnäckigen Grenzwert wird hier gerne die eine oder andere vergessen. Besonderer Beliebtheit erfreut es sich, nicht nachzuprüfen, ob es sich wirklich um einen sogenannten uneigentlichen Grenzwert der Form 0/0 oder +-unendlich / +-unendlich handelt. Nur solche kann dieser Satz behandeln."

Ich sehe diese Regel verletzt, da der Grenzwert "unendlich" vorliegt, aber nicht "unendlich/unendlich" oder "0/0".

Oder übersehe ich da etwa etwas?

Danke für die schnelle Hilfe!

[Prof. Karsten Weihe]

n ist ja keine eigene Funktion.

Nicht? Wir reden hier von der Identität \(n\rightarrow n\), das ist doch wohl eine Funktion

Und damit hätten wir zwei Funktionen, die gegen \(+\infty\) gehen.

KW

[null]

Aber ich brauche ja die Form unendlich / unendlich . Sonst könnte ich mit Hospital ja auch auch f(x) = x^2 bearbeiten, denn es gilt ja immerhin f(x) = x * x.

Was verstehe ich da falsch?

[Prof. Karsten Weihe]

Aber ich brauche ja die Form unendlich / unendlich . Sonst könnte ich mit Hospital ja auch auch f(x) = x^2 bearbeiten, denn es gilt ja immerhin f(x) = x * x.

Ich verstehe Ihr Gegenbeispiel so: Sie wollen \(\log^k(n)\) und \(n\) multiplizieren und haben daher die Form unendlich*unendlich statt unendlich/unendlich.

Warum multiplizieren

KW

[null]

Das Beispiel wollte ich nur dazu verwenden, dass ich dann jede Funktion als Konkatenation von zwei Funktionen verstehen kann. Vielleicht können Sie mir ganz konkret sagen, wo ich bei log^k (n) einen Grenzwert der Form "unendlich/unendlich" oder "0/0" finden kann. So wie ich unsere Mathevorlesung verstanden habe, kann ich nur dann die Regel von Hospital anwenden.

Beispiel: lim n->unendlich (ln(n)) != lim n -> (1/n). Hier habe ich anscheinend die Regel von Hospital angewendet, doch es führt offensichtlich zu einem Fehler, weil die Bedingungen nicht erfüllt sind.

Sorry, wenn ich immer wieder nachhake, aber ich möchte das ganz genau verstanden haben

[Prof. Karsten Weihe]

Wenn Sie zwei Funktionen miteinander vergleichen, dann müssen Sie genau dasselbe wie in der Vorlesung machen, nämlich dividieren. Da beide Funktionen gegen unendlich gehen, haben Sie den Fall unendlich/unendlich. Ich verstehe immer noch nicht, wo das Problem ist!?

KW

[null]

Guten Abend,

dank Ihrer letzten Antwort ist mir alles klar geworden. Ich hatte nicht mehr im Kopf, dass ich die Funktionen durch einander teilen muss. Damit hat sich meine Frage erübrigt.

Herzlichen Dank für Ihre Hilfe

[alexk1992]

Kann es sein, dass nachdem man den L'H oft genug (k - 1 mal) angewendet hat, der Zähler eine Konstante ist, der Nenner gegen unendlich geht und damit die ganze Funktion gegen 0 geht??

Danke und LG Alex

[Prof. Karsten Weihe]

Kann es sein, dass nachdem man den L'H oft genug (k - 1 mal) angewendet hat, der Zähler eine Konstante ist, der Nenner gegen unendlich geht und damit die ganze Funktion gegen 0 geht??

Nehmen wir an, es wäre so - wäre das ein Problem?

KW

[alexk1992]

Ich denke mal nicht ?!
Das würde bedeuten, dass logk n in o(n) liegen würde. Zwischen der o- und O-Notation gibt es ja einen kleinen Unterschied, in wie weit dieser hier eine Rolle spielt weis ich nicht.

[Prof. Karsten Weihe]

Ich denke mal nicht ?!

Dann verstehe ich nicht die Intention Ihres Postings

KW

[alexk1992]

Danke erstmal
Ich habe gefragt, weil ich mir nicht sicher war, ob ich richtig abgeleitet habe.
Angenommen jemand hätte gesagt, dass es so nicht richtig ist, dann hätte er bestimmt auch noch auch noch den einen oder anderen Hinweis gegeben, warum das der Fall ist. Quasi zur Absicherung


LG Alex

[sven.lohrmann]

Welche Basis ist eigentlich gemeint, wenn beim Logarithmus keine explizit angegeben ist?