Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

R_Egert
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Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von R_Egert » 19. Sep 2011 15:58

Sammelthread für Ergebnisse für die genannte Klausur^^

1) a)Verfahrensvorschrift: \(u_{j+1} = u_{j} + \frac{2}{3}*h*k_{j}\)

b) R(q) = \(1 + \frac{q}{\frac{2}{3} - \frac{4}{9} * h}\)

Können die stimmen?^^

mfg Rolf
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Firehouse
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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von Firehouse » 19. Sep 2011 16:19

1 a)
Ist ja implizit:
\(u_{j+1} = u_{j} + h+f(t+\frac{2}{3}*h,u_{j}+\frac{2}{3}(u_{j+1}-u_{j}))\)

dementsprechend b)
R(q) = \(\frac{1 + \frac{q}{3}}{1-\frac{2q}{3}}\), was offensichtlich l-stabil ist.

hatten das so bisher nicht in diesem Sem, daher kp ob sowas drankommen wird. habs mir aber aufgeschrieben..

R_Egert
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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von R_Egert » 19. Sep 2011 16:36

Firehouse hat geschrieben:1 a)
Ist ja implizit:
\(u_{j+1} = u_{j} + h+f(t+\frac{2}{3}*h,u_{j}+\frac{2}{3}(u_{j+1}-u_{j}))\)
Ich hab keine Ahnung wie du auf diese Gleichung kommst, ich dacht das wird wie in übung 8 G3 oder Skript seite 60. So dass man erst k "berechnet" und dass dann entsprechend den werten aus dem Butcherschema aufsummiert?

oder hab ich da was gänzlich verrafft?^^

mfg Rolf

thx schonma!
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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von jonas » 19. Sep 2011 17:15

Formel für Impl. Butcher-Schema
\(k_1 = f(t_j + \frac{2}{3}*h , u_j+h*\frac{2}{3}*k_1)\)

Diese Formel würde ich erstmal nach \(k_i\) auflösen, geht aber in meinen Augen ohne konkretes Problem nicht.
Denn weiter geht es mit:
\(u_{j+1} = u_j + h*1*k_i\)
Hier obiges \(k_1\) einsetzten, ohne das nach \(k_1\) aufgelöst werden konnte ist blöde.

Ohne konkretes Problem kann man hier meiner Meinung nach nicht weiter auflösen.
Oder wie wollt ihr das machen?

Um die Stabilitätsfunktion zu berechnen, nimmt man als konkretes Problem die Modellgleichung, \(y'=\lambda y\)
Somit ist
\(k_1 =\lambda * ( u_j+h*\frac{2}{3}*k_1)\)
\(k_1 = \frac{\lambda * u_j}{ 1- \lambda*h*\frac{2}{3}}
= \frac{3*\lambda * u_j}{ 3- \lambda*h*2}\)


also wird das gesamte Verfahren zu
\(u_{j+1} = u_j + h*1* ( \frac{3*\lambda * u_j}{ 3- \lambda*h*2} )\)

@Firehouse: deine Gleichung versteh ich nicht:
\(u_{j+1}=u_j+\underline{h +}f(t+2/3*h , uj+2/3\underline{(u_{j+1}-u{_j})})\)
Wie kommst du jeweils auf das Unterstrichene? Ich denke es müsste ..+h*f(... lauten oder?
und wie du hinten scheinbar \(k_1\) durch u_{j+1}-u{_j} ersetzt ist mir ein Rätsel.

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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von R_Egert » 19. Sep 2011 17:23

Also auf die GLeichungen komm ich auch nur ohne die Erweiterung mit 3^^ aber das is geschmackssache.^^

Danke dir !;)

mfg Rolf
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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von jonas » 19. Sep 2011 17:24

Stabilitätsfkt wäre dann:
\(u_{j+1} = u_j + h*1* ( \frac{3*\lambda * u_j}{ 3- \lambda*h*2} )\)

\(u_{j+1} = (1 + \frac{3*h*\lambda }{ 3- \lambda*h*2} ) * u_j\)
also
\(u_{j+1} = R(q)* u_j\) mit
\(R(q) = (1 + \frac{3*q }{ 3- 2*q} )\)
\(= (\frac{3- 2*q + 3*q }{ 3- 2*q} )\)
\(= (\frac{3 + q }{ 3- 2*q} )\)

Stabilität zeigen:
\(|R(q)|<1\)
\(= |\frac{3 + q }{ 3- 2*q} | < 1\)
\(= |3 + q| < |3- 2*q|\)
gilt offensichtlich für alle q<0 und somit ist das Verfahren L-Stabil.

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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von jonas » 19. Sep 2011 17:29

Hm ich würde als Verfahrensfunktion
\(u_{j+1} = u_j + h*1*k_i\)
mit
\(k_1 = f(t_j + \frac{2}{3}*h , u_j+h*\frac{2}{3}*k_1)\)

angeben. Kommt mir aber irgendwie komisch vor. Gibt es da eine vergleichbare Übungsaufgabe? (Verfahrensfkt von Impl. Butcher-Schema?)
Würde mich interessieren was hierbei die gewünschte Antwort ist.

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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von R_Egert » 19. Sep 2011 17:33

Schau mal übung 8 G2 und G3^^
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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von R_Egert » 19. Sep 2011 17:38

@ jonas

Meine Stabilitätsfunktion + Beweis sind die Gleichen^^

thx^^
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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von jonas » 19. Sep 2011 17:53

danke, in der Übung 8 G3 wird es ja genauso angegeben wie ich es hier gemacht habe.
Super, dann liegen wir ja vielleicht beide falsch..ähh richtig :wink:

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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von R_Egert » 19. Sep 2011 18:43

Zufällig noch jemand bei der d) \(u_2 \approx 45,634\) ?^^
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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von Firehouse » 19. Sep 2011 18:53

jonas hat geschrieben: @Firehouse: deine Gleichung versteh ich nicht:
\(u_{j+1}=u_j+\underline{h +}f(t+2/3*h , uj+2/3\underline{(u_{j+1}-u{_j})})\)
Wie kommst du jeweils auf das Unterstrichene? Ich denke es müsste ..+h*f(... lauten oder?
und wie du hinten scheinbar \(k_1\) durch u_{j+1}-u{_j} ersetzt ist mir ein Rätsel.
ja das soll ein * sein..

zu dem hinteren Teil bin ich durch google gekommen. Wenn man implizite Runge Kutta googelt, stößt man auf so Dokumente wie dieses, wo auf seite 2 die Regel für das butcher Schema wie in dieser Klausur steht.

Sonst könntest du ja die Vorschriften zb vom Impl Euler gar nicht aufstellen, wenn man so wie du vorgehen würde.

Glaube aber nicht dass das bei uns rankommt, hatten ja gar kein Butcher Schema zu impl. Verfahren..


bei der d hab ich u2 = 8,75 (hab ja auch ne andere Vorschrift als ihr ;))

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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von jonas » 19. Sep 2011 21:33

@Firehouse: Danke für die Aufklärung.
Wie mir gesagt wurde kam in Übung 8 dazu was vor - da war auch ein Butcher-Schema zu einem implizitem Verfahren, also das gleiche wie in dieser Klausuraufgabe.
Daher denke ich schon, dass eine entsprechend ähnliche Aufgabe vorkommen könnte...

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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von Firehouse » 19. Sep 2011 21:44

ohja seh ich jetzt erst, dass das da dran kam..
Da isses ja so wie bei euch.. verwirrt mich jetzt, wie macht ihrs in der Klausur?

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Re: Klausur SoSe 10 Aufgabe 1

Beitrag von R_Egert » 19. Sep 2011 22:11

So wies in der Übung gemacht wurde werd ichs wohl auch machen ^^ vll kann man sich dann ja iwie drauf berufen oder so ;P

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