Klausur WS 10-11

JanPM
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Klausur WS 10-11

Beitrag von JanPM »

Hi, ich bin mir nicht sicher ob meine Ergebnisse von der 1. Aufgabe stimmen:

a)
R(q) =(1 + 4q/9 )/(1 - 5q/9)
und ist nicht L-Stabil weil R(1) = 2,6 > 1

b)
u1 = 1,1184
u2 = 2,3829
euler:
u1 = 1
u2 = 1,25

Hat das jemand auch so?

Firehouse
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von Firehouse »

a)
habs grad nicht ganz im Kopf, aber ich glaube bei der A/L Stabilität gehts doch um Re(q) < 0. Daher ist es L-Stabil..

b)
Euler hab ich auch
Mittelpunkt: u1 = 85/76 u2 = 1.6237
Das passt auch wg e^(1/2) besser

jonas
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von jonas »

a)
JanPM hat geschrieben:R(q) =(1 + 4q/9 )/(1 - 5q/9)
nur zu im tex-schön-format:
\(R(q) {=} \frac{(1 + \frac{4q}{9})}{(1 - \frac{5q}{9})}\)
äquivalent, doch in meinen Augen schönere Form:
\({=} \frac{(9 + 4q)}{(9 - 5q)}\)

L-Stabil bedeutet: es muss \(\left|R(q)\right| < 1\) gelten und zwar für \(\forall q \in \mathbb{C}\) mit \(\mathbb{R}e(q) < 0\)
\(= \left| \frac{(9 + 4q)}{(9 - 5q)} \right| < 1\)
\(= \left| (9 + 4q) \right| < \left|(9 - 5q)\right|\)

Für \(\mathbb{R}e(q) < 0\) wird -5q offensichtlich positiv (minus mal minus..) und 4q negativ.
Also wird links "etwas" von 9 abgezogen während rechts "etwas" (größeres) auf q addiert. Somit ist rechts immer größer als links.
Daher gilt die Aussage und das Verfahren ist L-Stabil.

L-Stabil merke ich mir immer so:
Es gilt \(q = \lambda h\). Da die Modellgleichung \(y'(t)=\lambda y(t)\) mit \(y(t)=e^{\lambda*t}\) eine Steife-DGL sein soll muss \(\lambda < 0\) gelten.
somit muss auch \(\lambda h < 0\) (da \(h > 0\)) Daher ist nur der Teil von q mit negativem Realteil interessant. Weiterhin muss das ganze kleiner 1 sein, da \(u_{j+1} = R(q)*u_j\) sich der Lösung annähern soll, und eine steife DGL per Definition abklingt bzw im Modellgleichungsfall von oben gegen Null geht.
Wenn das nicht gilt ist das Verfahren "nicht geeigent" für steife DGL, also nicht stabil.
Unterschied A- zu L-Stabil: A-Stabil darf auch gleich bleiben mit \(R(q)\leq 1\) während L-Stabil, genauso wie die exakte Lösung IMMER kleiner werden muss mit \(R(q)<1\)

JanPM
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von JanPM »

Ahh, danke für die Erklärung!

jonas
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von jonas »

Firehouse hat geschrieben: b)
Euler hab ich auch
Mittelpunkt: u1 = 85/76 u2 = 1.6237
Das passt auch wg e^(1/2) besser
Gleiche Ergebnisse hier, boha ist meine Formel für u\(_{j+1} = ..\) hässlich.

JanPM
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von JanPM »

Bei Aufgabe 2 c)

Wie soll man da vorgehen? Der Hinweis mit dem Maximum der Ableitung verwirrt mich.

JanPM
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von JanPM »

Bei Aufgabe 3 hab ich:
a) 1
b) 2
c) 1 (vielleicht)

jonas
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von jonas »

Jo ist komisch.

Formel für den Fehler beim Newton-Verfahren \(... f^{(n+1)}(\xi)...\) d.h. die 1. Ableitung würde n=0 implizieren, was ja aber eher Blödsinn sein sollte.
In einer Sprechstunde letzte Woche teilte der Tutor die Verwirrung über diese Aufgabe.
Da er die Aufgabe vorher noch nicht gesehen hatte konnte er nur ein paar Gedankengänge beisteuern:
- Aufgabenstellung fehlerhaft?
- mit f'(x) argumentieren das ...?

Zu letzterem hätte ich folgende Idee:
Hat man n+1 Stützstellen für ein Polynom mit Grad <= n ist das Interpolationspolynom exakt (oder? Dazu gab es doch einen Satz im Skript).
Das Polynom für n+1 = 4 , also Grad <= 3, hat man in Aufgabenteil b berechnet. Da einfach mal \(\xi \in [0,1]\) einsetzten und den Fehler anschauen, ist der größer als \(10^{-3}\) braucht man offensichtlich mehr Stützstellen - und dann wird das Interpolationspolynom exakt und der Fehler ist 0.

Denkt ihr der Gedankengang stimmt und ist angemessen?

(ps: in Aufgabenteil b einsetzten kann ich zur Zeit nicht da ich das selbst noch nicht gemacht habe...)

JanPM
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von JanPM »

p3(x) = -6x^2 + 7x
ist das Polynom von b.
Das passt an den Stützstellen, so wie es sein soll, aber für zb 0.2 stimmts net (fehler größer als 10^-3). Ist also noch nicht Exakt. Weiter weiß ich aber auch net. Also da f von Grad 4 ist bräuchte man 5 Stützstellen?

JanPM
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von JanPM »

Bei der Aufgabe 4) hab ich den Schätzer:
Tn(x1, ..., xn) = \(-\frac{1}{\sum{-(xi)^2}}\)

Sieht irgendwie komisch aus...

Firehouse
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von Firehouse »

JanPM hat geschrieben:Bei der Aufgabe 4) hab ich den Schätzer:
Tn(x1, ..., xn) = \(-\frac{1}{\sum{-(xi)^2}}\)

Sieht irgendwie komisch aus...
Die Ableitung ist bei mir \(\frac{n}{\Theta}-\sum{(xi)^2}\)

Dadurch komm ich dann auf den Schätzer \(\frac{n}{\sum{(xi)^2}}\)

jonas
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von jonas »

Firehouse hat geschrieben: Die Ableitung ist bei mir \(\frac{n}{\Theta}-\sum{(xi)^2}\)

Dadurch komm ich dann auf den Schätzer \(\frac{n}{\sum{(xi)^2}}\)
ich auch.

JanPM
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von JanPM »

Ja ich jetzt auch :) Hoffentlich verrechne ich mich in der Klausur net so oft, waah :?

jack_90
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von jack_90 »

Hi,

hat jemand von euch eine Ahnung wie man bei der 5 die Teile b und d löst.
Meines Erachtens kann man hier keine Aussage treffen, da es sich um Wahrscheinlichkeiten der Gegenhypothese handelt.
Die einzigen Wahrscheinlichkeiten die aber bekannt sind: mit 95% Sicherheit ist µ=10 (Test a) -> lässt sich hieraus P zu 5% berechnen?
und mit lediglich 5% Wahrscheinlichkeit wird bei Test c ein Fehler 1.Art begangen.

Jemand noch andere Ideen?
EiSE Tutor WS 12/13

JanPM
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Re: Klausur WS 10-11

Beitrag von JanPM »

Das würde mich auch interessieren.

Edit:
Jetzt ist mir gerade noch was eingefallen, als der Ziems eine Klausuraufgabe vorgerechnet hat war die Frage dabei:
"Die Wahrscheinlichkeit dass H0 in b) abgelehnt wurde obwohl H0 stimmt liegt bei höchstens 20% "
Da in b) ALPHA = 0.2 war stimmt die Aussage.

Kann man das auch bei b) und d) so begründen?
H0 : mü = 10 : Die Maschine liefert im Mittel den gewünschten Wiederstand
Die Wahrscheinlichkeit dass H0 akzeptiert wurde obwohl H0 falsch ist liegt bei höchstens 5% ??

Noch ein Edit:
Das wäre dann ein Fehler 2. Art

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