Fragen bzgl. Übung 13 G2

dees
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Fragen bzgl. Übung 13 G2

Beitrag von dees »

Aufgabe G2

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a) (Siehe rote Makierung) Der Bruch wird aus dem Produkt rausgezogen aber müsste das dann nicht \(n* \frac{1}{sqrt(2*PI*Theta)}\) sein?

b) Der Erwartungswert des Schätzers am Ende ist Theta. Der Erwartungswert der Verteilungsfunktion ist aber 1, warum ist der Schätzer dann erwartungstreu? Ich dachte die Schätzfunktion ist erwartungstreu wenn sie den gleichen Erwartungswert wie die Verteilungsfunktion hat?

mfG

jonas
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Re: Fragen bzgl. Übung 13 G2

Beitrag von jonas »

zu b) dein Schätzer macht eine Aussage über die Varianz, denn die Aufgabenstellung besagt \(N(1,\theta)\) also \(\mu = 1\)
Daher ist dein Schätzer erwatungstreu, da er für jede beliebige Messreihe die Varianz "korrekt" schätzt.

Erwartungstreue ist ja definiert als \(E_\theta(T_n(X_1,\dots,X_n))=\tau(\theta)\)
Somit ist das der Erwartungswert des Schätzers und nicht der Zufallsvariable/Verteilung.
Ok?

zu a) den Fehler habe ich zugegebener Maßen selbst auch gemacht, aber:
das ganze ist ein Produkt: \(\prod_{i=1}^2 x*e^{y_i} = (x*e^{y_1})*(x*e^{y_2}) = x*x*e^{y_1}*e^{y_2} = x^2*e^{y_1}*e^{y_2}\)
somit ist das \(\circ^n\) zum aus dem Produkt raus ziehen schon okay.

Den "inuitiven" Ansatz mit \(n*x\) beim Rausziehen, den ich ja auch selbst hatte, erkläre ich mir durch die Summe...\(\sum_{i=1}^2(x+e^{y_1 }) = x+e^{y_1 }+x+e^{y_2} = 2x+e^{y_1}+e^{y_2}\)

dees
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Re: Fragen bzgl. Übung 13 G2

Beitrag von dees »

zu a) Ah danke, das war der Knackpunkt und macht natürlich Sinn ;)

zu b) Meine Definition zur Erwartungstreue war einfach falsch, im Skript ist es richtig definiert. Die Erwartungstreue bezieht sich nicht auf den Erwartungswert der Verteilungsfunktion sondern auf den Wert den tow(theta) hat.

pSub
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Re: Fragen bzgl. Übung 13 G2

Beitrag von pSub »

Noch eine Frage zur Ü13 G2.
Die Likelihood-Funktion berechnet man ja aus dem Produkt der Dichte-Funktion wobei \(\sigma = \theta\) ist. Da die Dichte-Funktion mit \(\frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}}exp(\frac{-(t-\mu)^2}{2\sigma^2})\) gegen ist, ergibt sich meiner Meinung nach daraus (mit \(\mu = 1\) und \(\sigma = \theta\)) für L:

\(\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\theta\sqrt{2\pi}}exp(\frac{-(x_i-1)^2}{2\theta^2})\) was ja ungleich dem Term aus der Lösung \(\prod_{i=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{2\pi\theta}}exp(\frac{-(x_i-1)^2}{2\theta})\) ist. (\(\theta\) ist hier einmal in der Wurzel und nicht quadratisch)

Übersehe ich hier etwas Grundlegendes?

jonas
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Re: Fragen bzgl. Übung 13 G2

Beitrag von jonas »

Die Normalverteilung schaut so aus: \(N(\mu,\sigma^2)\).
Lauf Aufgabenstellung ist \(X \sim N(1,\theta)\) verteilt. Sprich: \(\mu = 1\) und \(\sigma^2=\theta\)

Also hast du in der Dichtefunktion \(\sigma\) durch \(\sqrt{\theta}\) und entsprechend \(\sigma^2\) durch \(\theta\) zu ersetzten.

Klar?

//edit: kurz gesagt: nein, man setzt nicht \(\sigma = \theta\) sondern \(\sigma^2= \theta\)
Zuletzt geändert von jonas am 18. Sep 2011 13:59, insgesamt 1-mal geändert.

pSub
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Re: Fragen bzgl. Übung 13 G2

Beitrag von pSub »

jonas hat geschrieben:Die Normalverteilung schaut so aus: \(N(\mu,\sigma^2)\).
Lauf Aufgabenstellung ist \(X \sim N(1,\theta)\) verteilt. Sprich: \(\mu = 1\) und \(\sigma^2=\theta\)

Also hast du in der Dichtefunktion \(\sigma\) durch \(\sqrt{\theta}\) und entsprechend \(\sigma^2\) durch \(\theta\) zu ersetzten.

Klar?
Ah so macht das ganze Sinn! Danke :)

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