Seite 1 von 2

Klausur WS09-10

Verfasst: 15. Sep 2011 20:35
von mheinrich
Hallo, hat jemand bei der Klausur von Wintersemester 09/10 eine Lösung (einen Ansatz?) für Aufgabe 2?

Ich komme da nicht weiter.

Gruß,
Markus

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 15. Sep 2011 21:23
von jonas
Aufgabe 2)
Bekannt: X ist normalverteilt. \(Var(X) = 0,0025\) (was \(\sigma{}^2\) ist/entspricht)

a1)Bekannt: \(\mu = 30\)
Ich formuliere das gesuchte mal etwas um: \(P(29.9 \leq X \leq 30.1)\)
klingelt es jetzt bei dir?
Den P(..) Ausdruck umformen, siehe S.91 im Skript - nun Normalverteilung auf Standard-Normalverteilung bringen und los gehts das suchen in der Tabelle.

a2) siehe Satz 8.8.1:
\(\overline{X}_{(n)}\) ist \(N(\mu,\sigma^2/n)\) verteilt.
Sprich \(P(29.9 \leq \overline{X}_{(5)} \leq 30.1)\) kann ebenfalls umgeformt und über mit der Tabelle für die Standard-Normalverteilung ermittelt werden.


b) Ich bin mir nicht ganz sicher, aber ich denke der Zentralengrenzwert-Satz spielt da eine Rolle um ein n in die Formel zu bekommen nach dem man auflösen kann.



Ps: falls ich falsch liege möge mich bitte jemand korrigieren, bin mir gerade nicht mehr so ganz sicher. :)

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 16. Sep 2011 13:10
von mheinrich
Ich würde nun gerne meinen Lösungsvorschlag zur Diskussion stellen.

Teil a) ist nach Jonas' Vorschlag gelöst:

a1:
\(X = N(30; 0,0025)\)
\(P(29,9 \leq X \leq 31,1) \overset{\text{(1)}}{=} P(29,9 < X \leq 31,1)
= F(30,1) - F(29,1) \overset{\text{(2)}}{=} \Phi(\frac{0,1}{0,05}) - \Phi(\frac{-0,1}{0,05}) = \Phi(2) - (1 - \Phi(2)) = 2 * \Phi(2) - 1 = 0,9544\)


a2:
\(\overline{X}_{(5)} = N(30; \frac{0,0025}{5} = 0,0005)\)
\(P(29,9 \leq \overline{X}_{(5)} \leq 30,1) = ... = 2 * \Phi\left(\frac{0,1}{\sqrt{0,0005}}\right) - 1 = 2 * \Phi(4,4721) - 1 \approx 1\)
Hört sich für mich logisch an, aber stimmt die Umformung auf die Standard-Normalverteilung? 4 ist halt schon ein sehr großer Wert.


Bei der b) hilft Übung 12 H1 weiter:

b1:
Es soll gelten:
\(P(|\overline{X}_{(n)} - \mu| \leq 0,01) \geq 0,95\)

\(P(|\overline{X}_{(n)} - \mu| \leq 0,01) = 1 - P(|\overline{X}_{(n)} - \mu| > 0,01)\)
die rechte Seite lässt sich wunderbar mit der Tschebyschevschen Ungleichung abschätzen:
\(P(|\overline{X}_{(n)} - \mu| > 0,01) \leq \frac{Var(\overline{X}_{(n)})}{0,01^2} = \frac{0,0025}{n * 0,01^2}\)

also:
\(P(|\overline{X}_{(n)} - \mu| \leq 0,01) \leq 1 - P(|\overline{X}_{(n)} - \mu| > 0,01) = 1 - \frac{0,0025}{n * 0,01^2}\)

wobei die linke Seite nicht kleiner als 0,95 werden sollte:

\(0,95 \leq 1 - \frac{0,0025}{n * 0,01^2}\)
\(\frac{0,0025}{0,05 * 0,01^2} \leq n\)
\(500 \leq n\)

500 erscheint mir sehr groß. Ist aber wohl der kleinen Varianz geschuldet.

b2:
\(P(-0,1 \leq \overline{X}_{(n)} - \mu \leq 0,1) = P(\frac{-0,1*\sqrt{n}}{0,05} \leq \overline{X}_{(n)} - \mu \leq \frac{0,1*\sqrt{n}}{0,05} )\)
\(= \Phi(0,2 * \sqrt{n}) - \Phi(-0,2 * \sqrt{n}) = 2*\Phi(0,2 * \sqrt{n}) - 1\)

Das soll größer als 0,95 bleiben:
\(0,95 \leq 2*\Phi(0,2 \sqrt{n}) - 1\)
\(1,95 \leq 2*\Phi(0,2 \sqrt{n})\)
\(0,975 \leq \Phi(0,2 \sqrt{n})\)
\(1,96 \leq 0,2 \sqrt{n}\)
\(n \geq 96,04\)

Man braucht also mindestens 97 Messungen


(1) http://de.wikipedia.org/wiki/Normalvert ... stellungen
(2) Transformieren auf Standard-Normalverteilung (siehe Skript S. 93)

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 16. Sep 2011 14:14
von Cornelius
mheinrich hat geschrieben: [...]
b2:
[...]
\(1,96 \leq 0,2 \sqrt{n}\)
\(n \geq 3,1\)

Man braucht also mindestens 4 Messungen
Hier dürftest du dich verrechnet haben. Aus \(1,96 \leq 0,2 \sqrt{n}\) folgt durch Umformen, dass \(n \geq96,04\) und damit mind. 97 sein muss.
Ansonsten stimmen meine Ergebnisse mit deinen überein.

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 16. Sep 2011 15:16
von mheinrich
Ja, richtig.

Hab auf die schnelle nochmal die Wurzel gezogen statt zu quadrieren.
Danke für den Hinweis!
Ich änder es oben auch mal

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 18. Sep 2011 17:45
von Firehouse
mheinrich hat geschrieben: \(0,95 \leq 1 - \frac{0,0025}{n * 0,01^2}\)
\(\frac{0,0025}{0,05 * 0,01^2} \leq n\)
\(500 \leq n\)

500 erscheint mir sehr groß. Ist aber wohl der kleinen Varianz geschuldet.
wie kommst du denn da auf 500? bei mir ergibt das 5..

\(\frac{0,0025}{0,05 * 0,01^2} {=} \frac{0,25}{0,05} {=} 5\)

passt?

und noch eine andere Frage:
\(0,975 \leq \Phi(0,2 \sqrt{n})\)
\(1,96 \leq 0,2 \sqrt{n}\)

wie kommste darauf?
und was hats eigentlich mit der obersten Zeile bei den Tabellen auf sich? also links die Spalte ist der Wert von x bei \(\Phi(x)\). Aber die Zeile??

Danke

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 18. Sep 2011 18:35
von jonas
Firehouse hat geschrieben: [..]
wie kommst du denn da auf 500? bei mir ergibt das 5..
\(\frac{0,0025}{0,05 * 0,01^2} {=} \frac{0,25}{0,05} {=} 5\)

passt?
[..]
Nein, ohne die Aufgabenstellung noch mal angesehen zu haben ergibt \(\frac{0,0025}{0,05 * 0,01^2}\) laut meinem Taschenrechner 500.

Firehouse hat geschrieben: [..]
und noch eine andere Frage:
\(0,975 \leq \Phi(0,2 \sqrt{n})\)
\(1,96 \leq 0,2 \sqrt{n}\)

wie kommste darauf?
und was hats eigentlich mit der obersten Zeile bei den Tabellen auf sich? also links die Spalte ist der Wert von x bei \(\Phi(x)\). Aber die Zeile??

Danke
Die Zeile entscheidet was die ersten beiden Stellen sind - die Spalte was die dritte Stelle, also die zweite Nachkommastelle, ist.
\(\Phi(0.01)\) => erste Zeile, da 0.01 und zweite Spalte da 0.01
Ok?


Zum lösen der Aufgabe gehst du "Rückwärts" vor.
Sei \(a = \Phi(b*n)\) und du kennst nur a und b.
Nun suchst du dir in der Tabelle die Zelle die a am ehesten entspricht (ggf. den nächst größeren oder kleineren, je nach \(\leq = \geq\)).
Anhand von Zeile und Spalte weißt du nun was \(b*n\) sein muss - da \(a = \Phi(b*n)\) Somit kannst du diesen Wert mit b*n gleichsetzten und nach n auflösen.

Im Beispiel von dir wäre das:
\(0,975 = \Phi(0,2*\sqrt{n})\)
du gehst also in die Tabelle und suchst die Zelle die am ehesten 0,975 entspricht.
Diese Zelle steht in der Zeile von 1,9 und in der Spalte von 6.
Es gilt also \(0,975 = \Phi(1,96)\)
daher kannst du nun \(1,96 = 0,2 \sqrt{n}\) setzten und nach n auflösen.

Klar?


//edit: Wie man die Tabelle für die Standard-Normalverteilung zu lesen hat hängt natürlich vom Tabellenaufbau ab - ich beziehe mich hier auf die Tabelle die bei einer der alten Klausuren dabei ist. => erste Nachkommastelle in der Zeile, zweite Nachkommastelle hängt von der Spalte ab.

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 18. Sep 2011 21:01
von Firehouse
top danke!

mit 500 haste recht.. hab mich wohl vertippt

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 19. Sep 2011 17:32
von Suiteng
was habt ihr bei der 1c? diese ganzen fragen verwirren mich total, und womit begründet ihr eure entscheidungen?

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 19. Sep 2011 18:06
von xa06qodo
Hi,
hier mal meine Lösung von 1.
1a)
t-Test, weil \(\sigma^2\) unbekannt.
\(T(X_1,...,X_n)=\sqrt{n} \frac{X_{(n)}-\mu_0}{\sqrt{S^2_n}}\)
\(= \sqrt{5} \frac{33-32,5}{1,118}=1\)
\(\alpha = 0,05\)
\(\to T = 1 \not\gt 2,1318 = t_{n-1;1-\alpha} = t_{4;0,95}\)
somit wird der Test akzeptiert!
1b)
Hier ändert sich nur \(t_{n-1;1-\alpha}\)
\(\to T = 1 \gt 0,9419 = t_{n-1;1-\alpha} = t_{4;0,8}\)
somit wird der Test verworfen!
1c)
1 -> falsch
2 -> richtig
3 -> falsch
4 -> richtig
5 -> falsch

Was meint ihr?

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 19. Sep 2011 18:13
von Suiteng
1 falsch, zu 95% höchstens 32,5 und nicht mehr als
2 unentscheidbar
3 falsch, weil b abgelehnt wurde
4 falsch, es soll heißen: zu 5% abgelehnt, obwohl es zutrifft
5 richtig

bin mir aber gar nicht sicher...

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 19. Sep 2011 18:19
von xa06qodo
1: falsch, da unsere in a) aufgestelle Hypothese für 95% besagt, dass der Erwartungswert bei weniger oder genau 32,5nF liegt und nicht mehr, und der Test angenommen wurde!
2: richtig, da unsere in b) aufgestellte Hypothese für 80% besagt, dass der Erwartungswert bei weniger oder genau 32,5nF liegt. Da aber der Test abgelehnt wurde, gilt das Gegenbeispiel, welches besagt , dass der Erwartungswert bei mehr als 32,5nF liegt!
3: falsch siehe 2!
4: richtig
5: falsch -> die Wahrscheinlichkeit, ist mir zu hoch^^, ka. wie ich das Begründen soll.

würde ich jetzt sagen;-)

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 19. Sep 2011 18:25
von xa06qodo
Und noch eine Frage zur 3e), kann mir jemand sagen, wie ich da ran gehen soll?
Und hat wer von euch die Lösung der Multiple Choice fragen?

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 19. Sep 2011 18:35
von jack_90
Hi,

wir sind auf folgende Ergebnisse gekommen. Bin selbst etwas skeptisch^^
1: k.A. möglich, da nach der P der Gegenhypothese gefragt ist, d.h. prinzipiell müsste man den Test mit µ > 32.5 wiederholen.
Hier stellt sich mir die Frage ob man von 95% Sicherheit, dass H0 gilt (Test angenommen) etwas für H1 folgern kann.
Bei µ =10.1 kann der Test für H1 ja genauso gut positiv sein.
2: ebenfalls k.A., wieder diesselbe Frage wie oben: Kann ich aus einem abgelehnten Test das Gegenteil folgern (das scheint mir nicht der Fall).
3: falsch, da Test fehlschlägt
4: k.A. möglich, da über den Fehler 2.Art lässt sich keine Aussage machen
5: richtig, Fehler 1. Art = alpha, da der Test fehlschlägt

Sind meines Erachtens etwas viele k.A. aber prinzipiell kann ein Test nur eine Aussage über eine der möglichen P machen. (P(H0|H0), P(H0|H1), etc., wenn man P(Entscheidung für| gilt wirklich) nimmt)

zur 3e): einfach die L-Stabilität des Verfahrens ausnutzen, hoffe mal dass es auch L-stabil ist (Def 6.2.2)

Re: Klausur WS09-10

Verfasst: 19. Sep 2011 18:37
von Firehouse
jack_90 hat geschrieben:Hi,

wir sind auf folgende Ergebnisse gekommen. Bin selbst etwas skeptisch^^
1: k.A. möglich, da nach der P der Gegenhypothese gefragt ist, d.h. prinzipiell müsste man den Test mit µ > 32.5 wiederholen.
Hier stellt sich mir die Frage ob man von 95% Sicherheit, dass H0 gilt (Test angenommen) etwas für H1 folgern kann.
Bei µ =10.1 kann der Test für H1 ja genauso gut positiv sein.
2: ebenfalls k.A., wieder diesselbe Frage wie oben: Kann ich aus einem abgelehnten Test das Gegenteil folgern (das scheint mir nicht der Fall).
3: falsch, da Test fehlschlägt
4: k.A. möglich, da über den Fehler 2.Art lässt sich keine Aussage machen
5: richtig, Fehler 1. Art = alpha, da der Test fehlschlägt

Sind meines Erachtens etwas viele k.A. aber prinzipiell kann ein Test nur eine Aussage über eine der möglichen P machen. (P(H0|H0), P(H0|H1), etc., wenn man P(Entscheidung für| gilt wirklich) nimmt)
genauso hab ichs auch, nur bei der 1. hab ich f, weil ich das glaube :D


zur 3e:
Schau dir mal die Definition von A-Stabil an, da steht was von lim und so. da du in der d drauf kommst dass es nicht a stabil ist, kannst du daraus folgern ob es abklingt oder nicht.