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Klausur SoSe2009

Verfasst: 14. Sep 2011 16:17
von olg
Da es keine Musterlösung für die diversen Klausuren gibt, die auf der Veranstalterseite von Mathe 3 angeboten werden, hier mal eine Sammlung von Lösungen zu einzelnen Aufgaben der Klausur SoSe2009, die meine Kollegen und Ich erarbeitet haben.

Klausur SoSe2009
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1. Aufgabe - Testverfahren

  1. Varianz soll überprüft werden, \(\mu\) unbekannt. \(\chi^2\)-Streuungstest
    • Überprüfen ob die Varianz \(\sigma_0^2\) nicht übersteigt: Testhypothese b) \(\sigma^2 \leq \sigma_0^2\)
    • Testgröße ist also \(T(X_1, ... , X_n) = \frac{n-1}{\sigma_0^2} \cdot S_{(n)}^2 = \frac{29}{1,5 \cdot 10^{-11}} \cdot 2,07 * 10^{-11} = \mathbf{40,02}\)
    • \(40.02 \not\gt \chi_{29,0.95}^2 = 42,557 \to H_0 \text{ wird akzeptiert.}\)

  2. Analog zu a), nur mit \(n=100\)
    • \(T(X_1, ... , X_n) = \frac{n-1}{\sigma_0^2} \cdot S_{(n)}^2 = \frac{99}{1,5 \cdot 10^{-11}} \cdot 2,07 * 10^{-11} = \mathbf{136,42}\)
    • \(136,42 \gt \chi_{99,0.95}^2 = 124,34 \to H_0 \text{ wird verworfen.}\) (Hier nicht sicher, da \(\chi_{99,0.95}^2\) nicht mehr in mitgelieferten Tabellen).

  3. Wenn die Beschreibung von \(\sigma_0^2 = 1.5 * 10^{-11}\) korrekt wäre, müsste die Überprüfung in b) akzeptiert werden. Da dies nicht der Fall ist, ist davon auszugehen, dass die Angaben des Herstellers nicht gerechtfertigt sind.

2. Aufgabe - Verteilung, Tschebyschev, Zentraler Grenzwertsatz

  1. \(P(X \gt 2000) = 1 - P(X \leq 2000) = 1 - F(2000) = 1 - (1 - e^{-x\lambda})\)
    \(= e^{-ln(\frac{20}{19})} = \frac{19}{20} = 0,95\)

  2. \(B(200,\frac{19}{20})\), also \(E(Y) = 200 \cdot \frac{19}{20} = 190\) und \(Var(Y) = 190 \cdot ( 1 - \frac{19}{20}) = 9,5\)
    Mit tschebyschevscher Ungleichung: \(P(|Y - 190 | \geq c) \leq \frac{9,5}{c^2} = P(|Y - 190| \lt 6) \geq 1-\frac{9,5}{6^2} = \frac{53}{72} \approx 0,7361\)

  3. Ansatz fehlte uns. Jemand Lösungsvorschläge?
3. Aufgabe - Anfangswertprobleme

  1. Verfahrensfunktion von (M): Einsetzen von \(y'(t)\), und entweder mit Variablen umformen nach \(u_{j+1}\), oder für jeden Schritt in b) auflösen [was mir selbst leichter fiel]:

    Unaufgelöst ergibt sich:
    \(u_{j+1} = u_j + \frac{1}{2} u_j t_j^2 h + \frac{1}{2} u_{j+1} t_j^2 h + \frac{1}{2} u_j t_j h^2 + \frac{1}{2} u_{j+1} t_j h^2 + \frac{1}{8} h^3 u_j + \frac{1}{8} h^3 u_{j+1}\).
    • Näherung mit Mittelpunktregel:
      \(u_0 = e^\frac{1}{3} , h = \frac{1}{10} , t_0 = 1\)
      Einsetzen in Vorschrift aus a) ergibt \(u_1 \approx 1,5585\).
      \(u_1 = 1,5585 , h = \frac{1}{10} , t_0 = 1,1\)
      \(u_2 \approx 1,7792\)
    • Näherung mit explizitem Euler-Verfahren:
      \(u_1 = e^\frac{1}{3} + \frac{1}{10} e^\frac{1}{3} \approx 1,5352\)
      \(u_2 \approx 1,721\)
  2. Genaue Lösung: \(y(1.2) = e^\frac{1.2^3}{3} \approx 1,77891\)
    • Abweichung Mittelpunktregel = 0.00029
    • Abweichung Explizites Euler-Verfahren = 0.05791
    Die Annäherung für Mittelpunktregel ist für zwei Iterationen deutlich genauer als Explizites Eulerverfahren. Für zwei Iterationen bieten beide Verfahren eine akzeptable Genauigkeit.
  3. Anwenden auf Modellproblem
    \(u_{j+1} = u_j + h\lambda (\frac{1}{2} u_j + \frac{1}{2} u_j +1)\)
    \(u_{j+1} = \frac{u_j + \frac{1}{2} h\lambda u_j}{1-\frac{1}{2} h\lambda} = (\frac{1 + \frac{1}{2} h\lambda)}{1-\frac{1}{2}h\lambda} u_j.\)
    \(R(q)\) ist also \((\frac{1 + \frac{1}{2} q)}{1-\frac{1}{2}q})\).

    Das Verfahren ist L-Stabil, weil 6.2.3 gilt.
  4. Nach 6.2.2 ist ein Verfahren L-Stabil, wenn es A-Stabil ist und zudem \(\lim\limits_{j \rightarrow \infty}{u_j = 0}\) gilt. Die Aussage trifft also zu.
4. Aufgabe - Quadratur
  1. \(n = 2, h = \frac{1}{4}\)
    \(\frac{1}{8} (\frac{1}{sqrt(2\pi)} + 2 \frac{1}{sqrt(2\pi)} e^{-\frac{1}{32}} + \frac{1}{sqrt(2\pi)} e^{-\frac{1}{8}})\)
    \(\approx 0,19054\)
  2. Fehler für summierte Trapezregel = \(\frac{- f''(\xi)}{12} (b-a) h^2\)
    \(= -\frac{1}{384} (\frac{1}{sqrt(2\pi)} (\xi^2 - 1) e^{-\frac{\xi^2}{2}})\)

    Die Funktion wird für \(\xi = 0\) maximal, da dann \((\xi^2 - 1) e^{-\frac{\xi^2}{2}}) = 1\) gilt.

    \(f''(0) = 0,00104\)
  3. Gesucht: Kleinstes m so dass gilt:
    \(\frac{- f''(\xi)}{12} (b-a)\frac{(b-a)^2}{m^2} \leq 10^-4\) gilt (einfach eingesetzt \(h^2 = \frac{(b-a)^2}{m^2}\)).

    \(= \frac{1}{sqrt(2\pi)} * \frac{1}{12} * \frac{1}{8} * \frac{1}{10^-4} \leq m^2\)
    \(= 41,5565 \leq m^2 \to m \approx 6,44643\)
5. Aufgabe - Multiple Choice
    • Falsch, Vektoriteration nach Mises liefert betragsmäßig größten EW, hier also -4
    • Falsch, siehe drittes.
    • Richtig, Inverse Iteration nach Wieland liefert Näherung an den Eigenwert mit geringstem Abstand zu \(\mu\), hier -4.
    • Falsch, siehe 2.
    • Richtig, siehe S.83 Skript (ergibt sich also für \(r_{xy} < 0\) eine streng monoton fallende Regressionsgerade))
    • Falsch, die Regressionsgerade berechnet sich als \(y = \hat a x + \hat b\) , wobei \(\hat a = \frac{s_{xy}}{s_x^2}\).
  1. Das 3. ist richtig. Siehe http://matheraum.de/forum/Interpolation ... ne/t444021.

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 14. Sep 2011 19:02
von jonas
olg hat geschrieben: [...]
2. Aufgabe - Verteilung, Tschebyschev, Zentraler Grenzwertsatz
[...]
b.
\(B(200,\frac{19}{20})\), also \(E(Y) = 200 \cdot \frac{19}{20} = 190\) und \(Var(Y) = 190 \cdot ( 1 - \frac{19}{20}) = 9,5\)
Mit tschebyschevscher Ungleichung: \(P(|Y - 190 | \geq c) \leq \frac{9,5}{c^2} = P(|Y - 190| \lt 6) \geq 1-\frac{9,5}{6^2} = \frac{53}{72} \approx 0,7361\)
[...]
wie kommst du hier auf \(c=6\) ?
So weit kam ich auch: \(P(|Y - 190 | \geq c) \leq \frac{9,5}{c^2}\) dann fehlte mir aber die Idee wie ich weiter machen soll und habe erfolglos nach anderen Ansätzen gesucht...

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 14. Sep 2011 19:31
von Cornelius
jonas hat geschrieben:
olg hat geschrieben: [...]
2. Aufgabe - Verteilung, Tschebyschev, Zentraler Grenzwertsatz
[...]
b.
\(B(200,\frac{19}{20})\), also \(E(Y) = 200 \cdot \frac{19}{20} = 190\) und \(Var(Y) = 190 \cdot ( 1 - \frac{19}{20}) = 9,5\)
Mit tschebyschevscher Ungleichung: \(P(|Y - 190 | \geq c) \leq \frac{9,5}{c^2} = P(|Y - 190| \lt 6) \geq 1-\frac{9,5}{6^2} = \frac{53}{72} \approx 0,7361\)
[...]
wie kommst du hier auf \(c=6\) ?
So weit kam ich auch: \(P(|Y - 190 | \geq c) \leq \frac{9,5}{c^2}\) dann fehlte mir aber die Idee wie ich weiter machen soll und habe erfolglos nach anderen Ansätzen gesucht...
Gesucht ist eine Unterschranke für die Wahrscheinlichkeit, dass zwischen 185 und 195 der 200 Netzteile eine Betriebsdauer von 2000 Stunden überstehen, also \(P(|Y - 190 | \leq 5)\) ("\(\leq 5\)" oder "\(\lt 6\)", weil wir so den Bereich von 185 bis 195 eingrenzen).
Das ist äquivalent zu \(1 - P(|Y - 190 | \geq 6)\), was sich dann mit Hilfe der tschebyschevschen Ungleichung abschätzen lässt.

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 15. Sep 2011 14:04
von mheinrich
Zu 2. c)
\(X = B(200; 0,95)\)
Gesucht: \(P(X \leq 195)\)

Zentraler Grenzwertsatz:
\(\lim\limits_{n\rightarrow\infty} P\left({\frac{X_1 + ... + X_n - (\mu_1 + ... + \mu_n)}{\sqrt{\sigma_1^2 + ... + \sigma_n^2}}\leq y}\right) = \Phi(y)\)

lässt imho den Schluss zu, dass \(P\left(\frac{X-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\leq y\right) \approx \Phi(y)\)

Also muss \(X \leq 195\) in die Form \(\frac{X-\mu}{\sqrt{\sigma^2}}\leq y\) gebracht werden:
\(\frac{X - 190}{\sqrt{9,5}} \leq \frac{5}{\sqrt{9,5}} \approx 1,62\)

Mit \(\Phi(1,62) = 0,9474\)

Erhalten wir somit eine Näherung und es gilt:
\(P(X \leq 195) \approx 0,9474\)


Kann das jemand bestätigen, oder hat evt. Einwände?

Gruß,
Markus

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 16. Sep 2011 16:29
von BeatriceFriess
Also ich hatte auch bei der 2c zuerst den selben Ansatz.
Heute in der Sprechstunde hat mich ein Kommilitone eines besseren belehrt.

Ich habe mir den Text noch einmal richtig durchgelesen und es heißt ja, dass bis zu 195 Netzteile eine Betriebszeit von 2000 Stunden überstehen. Das heißt dann wir suchen nicht die Wahrscheinlichkeit, dass es weniger sind, sondern, dass es mehr sind. Also P(X \(\gt\) 195), daraus folgt:
P(X \(\gt\) 195) = 1- P(X \(\leq\) 195)

Daher ist mein Endergebnis :
1- 0,9474 = 0.0526

Und es klingt irgendwie auch logischer, dass wenn zwischen 185 und 195 schon nur die Wahrscheinlichkeit bei 73,62% liegt, sie bei 195 nicht noch höher sein kann :)

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 16. Sep 2011 19:09
von oreon
Zu 2c komme ich zum gleichen Ergebnis wie mheinrich, siehe Wikipedia http://de.wikipedia.org/wiki/Satz_von_Moivre-Laplace.
Allerdings würde mich doch interessieren wie du zu deinem "Schluss" kommst direkt dem zentralen Grenzwertsatz heraus.

BeatriceFriess Ansatz denke ich ist nicht korrekt, "bis zu 195" heißt \(\leq 195\) und nichts anderes, außerdem bildet Tschebyschow nur eine (sehr) grobe untere Schranke. Das heißt wenn schon die Wahrscheinlichkeit das zwischen 185 und 195 Netzteile durchhalten mindestens 0.7361 beträgt und jetzt noch alle weiteren Möglichkeiten hinzu kommen musste das ergo höher sein.

Ich denke auch man könnte das sogar über Bernoulli auch exakt berechnen und zwar mit dem Ansatz
\(B(k|p,n) = \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix}p^{k}q^{n-k}\)

\(P(Y \leq 195) = 1 - B(200|0.95, 200) - B(199|0.95, 200) - ... - B(196|0.95, 200) \approx 0.97\)

Falls man das überhaupt so rechnen kann wäre doch einen Nährung von 0.94 nicht schlecht.

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 16. Sep 2011 19:44
von BeatriceFriess
Nachdem ich jetzt ein drittes Mal über die Aufgabenstellung geschaut habe, muss ich zugeben, dass mein Kommilitone mich heute doch ein wenig verwirrt hat.
Im Nachhinein bin ich auch wieder für die Lösung, die vor meiner vorgestellt wurde. (also die ohne 1-P(bla))

Das mit dem 'bis zu' kann schon recht verwirrend sein.

Aber was die Anwendung des zentralen Grenzwertsatzes angeht.
Nun ja, in der Aufgabestellung steht: 'Berechnen sie mit Hilfe des zentralen Grenzwertsatzes...'
Also ich glaube nicht, dass man Punkte bekommt, wenn man dann Bernoulli benutzt :)

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 17. Sep 2011 14:32
von mheinrich
So wie ich den Text verstehe heißt "bis zu 195" \(P(X \leq 195)\).

Ich dachte auch zunächst, man könnte das Ergebnis auch exakt durch eine Bernoulli-Kette bestimmen, aber das ist wohl nicht gefragt, sonst ergibt der Zusatz "zentraler Grenzwertsatz" überhaupt keinen Sinn.

Zu meinem Schluss komme ich, da der Grenzwert für \(n \rightarrow \infty\) \(P\) mit \(\Phi\) übereinstimmt.
Da allerdings \(n = 200\) gilt, nehme ich an, dass n "ausreichend groß" ist um \(\Phi\) als Näherung heranzuziehen.

Gruß,
Markus

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 17. Sep 2011 17:21
von oreon
Ja sehe ich auch so das Bernoulli hier nicht als Lösung gewünscht ist. Hatte es nur zum verdeutlichen und vergleichen mit der Näherung ausgerechnet.

Zu \(n = 200\) steht auch was im Wikipedia-Artikel und zwar das gelten muss \(np(1 − p) > 9\) was hier bei uns auch gegeben ist.

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 19. Sep 2011 13:00
von R_Egert
mheinrich hat geschrieben:Zu 2. c)
...

\(\frac{X - 190}{\sqrt{9,5}} \leq \frac{5}{\sqrt{9,5}} \approx 1,62\)

Mit \(\Phi(1,62) = 0,9474\)

Erhalten wir somit eine Näherung und es gilt:
\(P(X \leq 195) \approx 0,9474\)
Ich verstehe nicht wie du ab dem Schritt:

\(\frac{X - 190}{\sqrt{9,5}} \leq \frac{5}{\sqrt{9,5}} \approx 1,62\)

weitermachst? Also mit welcher Rechnung kommst du auf:

\(\Phi(1,62) = 0,9474\)

danke schonmal

grüsse Rolf

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 19. Sep 2011 13:18
von mheinrich
\(\Phi(x)\) wird in einer Tabelle nachgeschlagen.
Alternativ kannst du auch die Dichtefunktion der Standard-Normalverteilung integrieren.

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 19. Sep 2011 13:19
von jonas
R_Egert hat geschrieben: \(\frac{X - 190}{\sqrt{9,5}} \leq \frac{5}{\sqrt{9,5}} \approx 1,62\)

\(\frac{X - 190}{\sqrt{9,5}}\) ist Standard-Normalverteilt (siehe im Skript "wie von Normalverteilung auf Standard-Normalverteilung umwandeln")
Es kann dir egal sein was da nun genau steht - es ist einfach als neue Standard-Normalverteilte Variable anzusehen.

Du kannst also umschreiben zu \(P(Y \leq \frac{5}{\sqrt{9,5}})\) wobei \(Y\sim N(0,1)\).
Taschenrechner sagt: \(\frac{5}{\sqrt{9,5}} \approx 1,62\)
Also \(P(Y \leq 1,62)\). Definition von \(P(Y \leq x)\) bei \(Y\sim N(0,1)\) ist: \(\Phi(x)\)

Also \(\Phi(1,62)\) und das ist, wie in der Tabelle ablesbar = 0,9474

klar?

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 19. Sep 2011 13:29
von R_Egert
THX!^^

Es is echt immer wieder schön zu sehen, dass man alles richtig macht, dann aber nicht drauf kommt das in der Tabelle abzulesen-.-"

mfg Rolf

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 19. Sep 2011 13:37
von R_Egert
olg hat geschrieben: ...
Unaufgelöst ergibt sich:
\(u_{j+1} = u_j + \frac{1}{2} u_j t_j^2 h + \frac{1}{2} u_{j+1} t_j^2 h + \frac{1}{2} u_j t_j h^2 + \frac{1}{2} u_{j+1} t_j h^2 + \frac{1}{8} h^3 u_j + \frac{1}{8} u_{j+1}\).

kann es sein, dass hier bei dem letzten term das \(h^3\) vergessen wurde?

Komme damit auch auf die Ergebnisse \(u_1 = 1,5585\) und \(u_2 = 1,7403\)

Wer hat sich nun verrechnet?^^

Edit: Ich , hat sich erledigt^^

Edit2: Bin trotzdem noch der Meinung, dass da ein \(h^3\) vergessen wurde?

Meine Ergebnisse \(u_1 = 1,5585\) und \(u_2 = 1,7792\)

Vll hat jemand noch Ergebnisse dazu?^^

mfg

Re: Lösung alter Klausuren

Verfasst: 19. Sep 2011 14:24
von olg
Die Ergebnisse stimmen ja mit dem obigen überein - Und das \(h^3\) fehlte in der Tat. Das hatte ich beim übertragen schlicht übersehen :)

Ist jetzt korrigiert