Klausur SoSe2009
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1. Aufgabe - Testverfahren
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Varianz soll überprüft werden, \(\mu\) unbekannt. \(\chi^2\)-Streuungstest- Überprüfen ob die Varianz \(\sigma_0^2\) nicht übersteigt: Testhypothese b) \(\sigma^2 \leq \sigma_0^2\)
- Testgröße ist also \(T(X_1, ... , X_n) = \frac{n-1}{\sigma_0^2} \cdot S_{(n)}^2 = \frac{29}{1,5 \cdot 10^{-11}} \cdot 2,07 * 10^{-11} = \mathbf{40,02}\)
- \(40.02 \not\gt \chi_{29,0.95}^2 = 42,557 \to H_0 \text{ wird akzeptiert.}\)
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Analog zu a), nur mit \(n=100\)- \(T(X_1, ... , X_n) = \frac{n-1}{\sigma_0^2} \cdot S_{(n)}^2 = \frac{99}{1,5 \cdot 10^{-11}} \cdot 2,07 * 10^{-11} = \mathbf{136,42}\)
- \(136,42 \gt \chi_{99,0.95}^2 = 124,34 \to H_0 \text{ wird verworfen.}\) (Hier nicht sicher, da \(\chi_{99,0.95}^2\) nicht mehr in mitgelieferten Tabellen).
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Wenn die Beschreibung von \(\sigma_0^2 = 1.5 * 10^{-11}\) korrekt wäre, müsste die Überprüfung in b) akzeptiert werden. Da dies nicht der Fall ist, ist davon auszugehen, dass die Angaben des Herstellers nicht gerechtfertigt sind.
2. Aufgabe - Verteilung, Tschebyschev, Zentraler Grenzwertsatz
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\(P(X \gt 2000) = 1 - P(X \leq 2000) = 1 - F(2000) = 1 - (1 - e^{-x\lambda})\)
\(= e^{-ln(\frac{20}{19})} = \frac{19}{20} = 0,95\) -
\(B(200,\frac{19}{20})\), also \(E(Y) = 200 \cdot \frac{19}{20} = 190\) und \(Var(Y) = 190 \cdot ( 1 - \frac{19}{20}) = 9,5\)
Mit tschebyschevscher Ungleichung: \(P(|Y - 190 | \geq c) \leq \frac{9,5}{c^2} = P(|Y - 190| \lt 6) \geq 1-\frac{9,5}{6^2} = \frac{53}{72} \approx 0,7361\) -
Ansatz fehlte uns. Jemand Lösungsvorschläge?
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Verfahrensfunktion von (M): Einsetzen von \(y'(t)\), und entweder mit Variablen umformen nach \(u_{j+1}\), oder für jeden Schritt in b) auflösen [was mir selbst leichter fiel]:
Unaufgelöst ergibt sich:
\(u_{j+1} = u_j + \frac{1}{2} u_j t_j^2 h + \frac{1}{2} u_{j+1} t_j^2 h + \frac{1}{2} u_j t_j h^2 + \frac{1}{2} u_{j+1} t_j h^2 + \frac{1}{8} h^3 u_j + \frac{1}{8} h^3 u_{j+1}\). -
- Näherung mit Mittelpunktregel:
\(u_0 = e^\frac{1}{3} , h = \frac{1}{10} , t_0 = 1\)
Einsetzen in Vorschrift aus a) ergibt \(u_1 \approx 1,5585\).
\(u_1 = 1,5585 , h = \frac{1}{10} , t_0 = 1,1\)
\(u_2 \approx 1,7792\) - Näherung mit explizitem Euler-Verfahren:
\(u_1 = e^\frac{1}{3} + \frac{1}{10} e^\frac{1}{3} \approx 1,5352\)
\(u_2 \approx 1,721\)
- Näherung mit Mittelpunktregel:
- Genaue Lösung: \(y(1.2) = e^\frac{1.2^3}{3} \approx 1,77891\)
- Abweichung Mittelpunktregel = 0.00029
- Abweichung Explizites Euler-Verfahren = 0.05791
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Anwenden auf Modellproblem
\(u_{j+1} = u_j + h\lambda (\frac{1}{2} u_j + \frac{1}{2} u_j +1)\)
\(u_{j+1} = \frac{u_j + \frac{1}{2} h\lambda u_j}{1-\frac{1}{2} h\lambda} = (\frac{1 + \frac{1}{2} h\lambda)}{1-\frac{1}{2}h\lambda} u_j.\)
\(R(q)\) ist also \((\frac{1 + \frac{1}{2} q)}{1-\frac{1}{2}q})\).
Das Verfahren ist L-Stabil, weil 6.2.3 gilt. - Nach 6.2.2 ist ein Verfahren L-Stabil, wenn es A-Stabil ist und zudem \(\lim\limits_{j \rightarrow \infty}{u_j = 0}\) gilt. Die Aussage trifft also zu.
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\(n = 2, h = \frac{1}{4}\)
\(\frac{1}{8} (\frac{1}{sqrt(2\pi)} + 2 \frac{1}{sqrt(2\pi)} e^{-\frac{1}{32}} + \frac{1}{sqrt(2\pi)} e^{-\frac{1}{8}})\)
\(\approx 0,19054\) -
Fehler für summierte Trapezregel = \(\frac{- f''(\xi)}{12} (b-a) h^2\)
\(= -\frac{1}{384} (\frac{1}{sqrt(2\pi)} (\xi^2 - 1) e^{-\frac{\xi^2}{2}})\)
Die Funktion wird für \(\xi = 0\) maximal, da dann \((\xi^2 - 1) e^{-\frac{\xi^2}{2}}) = 1\) gilt.
\(f''(0) = 0,00104\) -
Gesucht: Kleinstes m so dass gilt:
\(\frac{- f''(\xi)}{12} (b-a)\frac{(b-a)^2}{m^2} \leq 10^-4\) gilt (einfach eingesetzt \(h^2 = \frac{(b-a)^2}{m^2}\)).
\(= \frac{1}{sqrt(2\pi)} * \frac{1}{12} * \frac{1}{8} * \frac{1}{10^-4} \leq m^2\)
\(= 41,5565 \leq m^2 \to m \approx 6,44643\)
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- Falsch, Vektoriteration nach Mises liefert betragsmäßig größten EW, hier also -4
- Falsch, siehe drittes.
- Richtig, Inverse Iteration nach Wieland liefert Näherung an den Eigenwert mit geringstem Abstand zu \(\mu\), hier -4.
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- Falsch, siehe 2.
- Richtig, siehe S.83 Skript (ergibt sich also für \(r_{xy} < 0\) eine streng monoton fallende Regressionsgerade))
- Falsch, die Regressionsgerade berechnet sich als \(y = \hat a x + \hat b\) , wobei \(\hat a = \frac{s_{xy}}{s_x^2}\).
- Das 3. ist richtig. Siehe http://matheraum.de/forum/Interpolation ... ne/t444021.
