Hauptuntermatrizen

andre_w
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Hauptuntermatrizen

Beitrag von andre_w »

Hallo,

finde die Definition zu Hauptuntermatrizen im Skript etwas seltsam:
\(A_{kl} = (a_{ij} )_{k \le i, j \le l}, 1 \le k \le l \le n\)

Ich denke es sollte zumindest eher so heißen, damit wirklich Untermatrixen oben links aus der Originalmatrix genommen werden:
\(A_{kl} = (a_{ij} )_{i \le k, j \le l}, 1 \le k \le l \le n\)

Nach dieser Definition können Untermatrizen ja auch nicht-quadratisch sein, da finde ich es komisch dass die Hauptminoren dann als \(det(A_{kl})\) eingeführt werden, wobei Determinanten meines Wissens nach doch nur für quadratische Funktionen definiert sind.

Wünsche euch viel Glück für die Klausur,
Andre
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aldara
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Re: Hauptuntermatrizen

Beitrag von aldara »

andre_w hat geschrieben: Nach dieser Definition können Untermatrizen ja auch nicht-quadratisch sein, da finde ich es komisch dass die Hauptminoren dann als \(det(A_{kl})\) eingeführt werden, wobei Determinanten meines Wissens nach doch nur für quadratische Funktionen definiert sind.
Du meinst für quadratische Matrizen definiert? (Die kannst du zwar auch als Funktionen interpretieren, aber umgekehrt geht das nicht so einfach ;) )
Ich kenne Determinanten auch nur für qudratische Matrizen, aber die Definition aus dem Skritp liefert doch auch nur solche? Schreib dir mal konkret hin, welche Martixeinträge du z.B. für k=1, l=2 bekommst.
Kleiner Hinweis noch, was vielleicht zu Missverständnissen führt: Die Bedingung für die Indizes i,j im Skript heißt, dass sowohl i als auch j zwischen k und l liegen müssen, es sind also keine zwei getrennten Bedingungen.

andre_w
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Re: Hauptuntermatrizen

Beitrag von andre_w »

Danke für deine Hilfe, ja ich meinte natürlich quadratische Matrizen ;)

OK das kann natürlich sein, kannte ich bisher noch nicht die Schreibweise in dieser Art. Allerdings liegen so dann ja auch nicht alle Hauptuntermatrizen links oben in der Ursprungsmatrix. Wieso werden dann beim Testen auf pos./neg. Definitheit nur jene getestet?

Wäre z.B. bei einer Matrix \(\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32} &a_{33} \end{matrix}\) nicht auch \(det(A_{23}) = det(\begin{matrix}a_{22}&a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{matrix})\) ein Hauptminor?
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aldara
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Re: Hauptuntermatrizen

Beitrag von aldara »

andre_w hat geschrieben: Wäre z.B. bei einer Matrix \(\begin{matrix} a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23} \\ a_{31}&a_{32} &a_{33} \end{matrix}\) nicht auch \(det(A_{23}) = det(\begin{matrix}a_{22}&a_{23} \\ a_{32} &a_{33} \end{matrix})\) ein Hauptminor?
Ja, nach dieser Definition wäre das auch ein Hauptminor. Mir kommt das auch seltsam vor, zumal ja erlaubt ist, dass k=l ist. Das würde aber bedeuten, dass alle Einträge der Matrix positiv sein müssen, aber das ist ja nicht der Fall, z.B. \(\begin{matrix}2 &-1 \\ -1 & 2 \end{matrix}\).
Ich könnte mir vorstellen, dass k=1 gelten muss, zumindest würde das mit dem gewohnten Kriterium zusammenpassen. Wenn ich dran denke, kläre ich das morgen mal.

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