Vorrechnung Klausur 2005

FeG
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Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von FeG »

Hi zusammen,

endlich bin ich dazu gekommen, die Mitschrift, die ich von der Vorrechnung der 2005er Klausur am 15.07. durch Prof. Ulbrich gemacht habe, zu überarbeiten.

Ihr findet sie hier: Mathe3-SS09-KlausurVorrechnung2005.pdf

Korrekturen werde ich nur bei Fehlern anbringen, die das Verständnis der Aufgabe/Lösung beeinträchtigen.

Viel "Spaß" damit ...
FeG

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s!mon
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von s!mon »

Coole Sache, danke.

björnP
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von björnP »

Hi FeG,

erst mal vielen Dank.

Wollte fragen ob der Prof. noch weitere nützliche Tips oder Hinweise gegeben hat?
Weiß einer etwas?

Vielen Dank im Voraus.

FeG
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von FeG »

Hi,
björnP hat geschrieben:Wollte fragen ob der Prof. noch weitere nützliche Tips oder Hinweise gegeben hat?
Weiß einer etwas?
Also spontan fällt mir da nix ein, ich kann mich an nichts erinnern, dass er außerhalb der Aufgaben da erzählt hat (bis auf die eine Anmerkung, die ich auch so in der Mitschrift vermerkt habe). Aber vielleicht hat jemand anderes ja ein besseres Gedächtnis als ich :D

Gruß
FeG

milde
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von milde »

Hey Klasse, und Dank dir wenigenstes eine Klausurmusterlösung :)

Hat jemand zufällig irgendwelche Lösungsmitschriften von anderen Klausuren? Würd mich auch anbieten handschriftliche Sachen einzuscannen.

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~usz
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von ~usz »

Vielen Dank, FeG!

Hab mir erstmal nur die erste Aufgabe angeguckt und meine einen kleinen Fehler in der Matrix zu sehen:
In der zweiten Zeile müsste der erste Eintrag eine 3 sein.

So hatte ichs mir damals notiert:

\(\begin{pmatrix} 10 & 3 & 4\\ 3 & -20 & 6 \\ 4 & 6 & 40 \end{pmatrix}\)

Die Matrix soll nämlich symmetrisch sein, da es sonst mit dem Ansatz über die Gershgorin-Kreise nicht klappt.

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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von FeG »

Vielen Dank für den Hinweis; ist korrigiert.

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oren78
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von oren78 »

~usz hat geschrieben:Die Matrix soll nämlich symmetrisch sein, da es sonst mit dem Ansatz über die Gershgorin-Kreise nicht klappt.
ähmmm....was bitteschön hat die symmetrie mit den Gershgorin-Kreise zu tun ???
----> außer das die EW's reel sind und es intervalle statt kreise sind...

\(Sei \; A \in \mathbb C^{n \times n}\; beliebig...\) sagt zumindest das skript ;-)
"Unter allen menschlichen Entdeckungen sollte die Entdeckung der Fehler die wichtigste sein.", Stanisław Jerzy Lec

FeG
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von FeG »

Siehe Lösung
Wir schätzen die Eigenwerte mit Gershgorin-Kreisen ab. Da A symmetrisch ist sind die Eigenwerte reell und somit erhalten wir Gershgorin-Intervalle statt -Kreise

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~usz
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von ~usz »

oren78 hat geschrieben: ähmmm....was bitteschön hat die symmetrie mit den Gershgorin-Kreise zu tun ???
----> außer das die EW's reel sind und es intervalle statt kreise sind...
Wie FeG inzwischen schon herausgestellt hat, sollte die Betonung auf unserem Ansatz liegen mit dem wir sonst keine Intervalle erhalten hätten.

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oren78
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von oren78 »

~usz hat geschrieben:Wie FeG inzwischen schon herausgestellt hat, sollte die Betonung auf unserem Ansatz liegen mit dem wir sonst keine Intervalle erhalten hätten.
ah...ok ;-)
"Unter allen menschlichen Entdeckungen sollte die Entdeckung der Fehler die wichtigste sein.", Stanisław Jerzy Lec

Student_17
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von Student_17 »

Hallo allerseits,

ich hätte da auch ne Frage zu Gershgorin-Kreisen:

1. Frage:
Was mache ich denn, wenn ich eine asymmetrische Matrix habe. Wie gehe ich dann vor?

2. Frage:

K1 und K2 sind ja in der Aufgabe 1b) auch disjunkt, oder? Schließlich überscheiden sich ja die Intervalle von K1 und K2 nicht. Wieso steht dann in der Lösung "alle anderen liegen in K1 U K2?
Es müssen doch nun in jedem Intervall ein Eigenwert liege, oder?

aldara
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von aldara »

Student_17 hat geschrieben: 1. Frage:
Was mache ich denn, wenn ich eine asymmetrische Matrix habe. Wie gehe ich dann vor?

2. Frage:

K1 und K2 sind ja in der Aufgabe 1b) auch disjunkt, oder? Schließlich überscheiden sich ja die Intervalle von K1 und K2 nicht. Wieso steht dann in der Lösung "alle anderen liegen in K1 U K2?
Es müssen doch nun in jedem Intervall ein Eigenwert liege, oder?
Zu 1:
Bei asymmetrischen Matrizen kannst du im Prinzip genauso vorgehen, du hast dann halt keine Intervalle mehr sondern echte Kreise in der komplexen Ebene. Da sieht man nicht mehr so schnell, wo die betragsmäßig größten Eigenwerte liegen und ob sich die Kreise schneiden. Ich hoffe aber, dass in der Klausur die Sache recht eindeutig gehalten ist - falls so ein Fall überhaupt drankommt.

Zu 2:
Du hast völlig recht, da sich die Intervalle nicht schneiden, liegt in jedem genau ein Eigenwert. Für die Aufgabe ist das aber eigentlich egal, man will ja nur eine Aussage über den betragsmäßig größten treffen, wo die anderen liegen, ist da nicht wichtig. Bei dieser Aufgabe hätte man das auch genauer beschreiben können, aber wenn du dir das ganze im Komplexen überlegen musst, wirst du froh sein, wenn du dir über die Lagebeziehungen der Kreise mit den kleineren EW keine Gedanken mehr machen musst, sondern einfach sagen kannst: "Die anderen EW liegen irgendwo in den anderen Kreisen und sind darum kleiner".

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oren78
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von oren78 »

aldara hat geschrieben: Zu 1:
Bei asymmetrischen Matrizen kannst du im Prinzip genauso vorgehen, du hast dann halt keine Intervalle mehr sondern echte Kreise in der komplexen Ebene. Da sieht man nicht mehr so schnell, wo die betragsmäßig größten Eigenwerte liegen und ob sich die Kreise schneiden. Ich hoffe aber, dass in der Klausur die Sache recht eindeutig gehalten ist - falls so ein Fall überhaupt drankommt...
das ist doch nonsense, wenn die matrix asymmetrisch ist, so sind doch die eigenwerte nicht zwingend komplex !!

du hast glaub ich, auf die umkehrung des satzes falsch geschlossen, banales beispiel:

Sei A := { [1, 2]; [0, 4] } die eigenwerte lassen sich hier direkt ablesen, nämlich: 1 und 4,
die zahlen sind also nicht komplex (zumindest enthalten sie KEINEN imaginären anteil !)
"Unter allen menschlichen Entdeckungen sollte die Entdeckung der Fehler die wichtigste sein.", Stanisław Jerzy Lec

FeG
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Re: Vorrechnung Klausur 2005

Beitrag von FeG »

oren78 hat geschrieben:
aldara hat geschrieben: Zu 1:
Bei asymmetrischen Matrizen kannst du im Prinzip genauso vorgehen, du hast dann halt keine Intervalle mehr sondern echte Kreise in der komplexen Ebene. Da sieht man nicht mehr so schnell, wo die betragsmäßig größten Eigenwerte liegen und ob sich die Kreise schneiden. Ich hoffe aber, dass in der Klausur die Sache recht eindeutig gehalten ist - falls so ein Fall überhaupt drankommt...
das ist doch nonsense, wenn die matrix asymmetrisch ist, so sind doch die eigenwerte nicht zwingend komplex !!
. . . . . . . . . .

Das hat doch auch niemand behauptet. Man erhält nur i.A. echte Kreise in der komplexen Zahlenebene. Solange die Realteil-Achse einen dieser Kreise schneidet kanns natürlich auch sein, dass die Eigenwerte 'trotzdem' keinen imaginären Anteil haben.
oren78 hat geschrieben:du hast glaub ich, auf die umkehrung des satzes falsch geschlossen, banales beispiel:

Sei A := { [1, 2]; [0, 4] } die eigenwerte lassen sich hier direkt ablesen, nämlich: 1 und 4,
die zahlen sind also nicht komplex (zumindest enthalten sie KEINEN imaginären anteil !)
Es wäre hilfreich gewesen, wenn du dir zu dem Beispiel auch mal das angeschaut hättest, worum es geht: die Gershgorin-Kreise. Die lauten nämlich

\(K_1 = \{\mu \in C : |\mu - 1| \leq 2 \}\)
\(K_2 = \{\mu \in C : |\mu - 4| \leq 0 \} = \{4\}\)

K1 ist also sehr wohl ein Kreis in der Zahlenebene, nämlich um die Zahl 1 + 0i mit dem Radius 2. Und trotzdem ist der Eigenwert aus diesem Kreis natürlich 1, aber das steht ja auch in keinem Widerspruch zueinander.

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