Frage zu Eigenwerten und Gerschgorin Kreise...

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oren78
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Frage zu Eigenwerten und Gerschgorin Kreise...

Beitrag von oren78 »

hallo miteinander,

habe eine kleine frage bzgl. der Gerschgorin-Kreise...ausgehend von den Radien der Kreise,
definieren wir sie mal als: \(\mathcal P_j = \sum_{k = 1,\atop k \neq j}^{n} \mid a_{j,k} \mid\) für \(j = 1,...,n\)
habe hier die Zeilensummennorm genommen, dürfte aber für jede andere Norm auch gehen...

also angenommen wir haben die folgende matrix:

\(\mathcal A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 0 & 0 & 9 \end{pmatrix}\)

da der Radius: \(\mathcal P_3 = 0\) ist, dann kann man doch direkt daraus folgern das 9 der dritte eigenwert ist, richtig?
bzw. wüsste ich nicht, wie man kein kreis mit Radius = 0 zeichnen sollte :-)

Ist es also generell immer der fall, das falls \(\mathcal P_j = 0\) gilt, dann ist das diagonalelement \(a_{j,j}\) der eigenwert \(\lambda_n\) ?

andere Frage, sehe ich es richtig das die Kreise generell die Eigenwerte enthalten oder müssen sie sich dafür extra schneiden..?
falls sie sich nicht schneiden, was hat es mit der Vereinigung der Kreise sonst auf sich ? (Satz: 10.1.4 im skript)


PS: kann es sein, dass sich dass TeX Modul von d120.de etwas qualitativ zurückentwickelt hat ? der TeX-Output sieht jedenfalls erbärmlich aus ;-)
"Unter allen menschlichen Entdeckungen sollte die Entdeckung der Fehler die wichtigste sein.", Stanisław Jerzy Lec

haase
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Re: Frage zu Eigenwerten und Gerschgorin Kreise...

Beitrag von haase »

oren78 hat geschrieben:PS: kann es sein, dass sich dass TeX Modul von d120.de etwas qualitativ zurückentwickelt hat ? der TeX-Output sieht jedenfalls erbärmlich aus ;-)
Wir haben von mathTeX, einem CGI-Skript mit grandiosen Sicherheitslücken und DoS-Lücken, auf jsMath, eine reine Javascript-Variante umgestellt. Darfst gerne was besseres schreiben ;)

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oren78
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Re: Frage zu Eigenwerten und Gerschgorin Kreise...

Beitrag von oren78 »

haase hat geschrieben:Wir haben von mathTeX, einem CGI-Skript mit grandiosen Sicherheitslücken und DoS-Lücken, auf jsMath, eine reine Javascript-Variante umgestellt. Darfst gerne was besseres schreiben ;)
meine güte, als ob irgend ein wahnsinniger hier im forum allenernstes eine DoS Attake mittels diesen mathTeX starten würde, übertreibt ihr da nicht ein bissel mit euren sicherheitsvorkehrungen..?
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haase
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Re: Frage zu Eigenwerten und Gerschgorin Kreise...

Beitrag von haase »

oren78 hat geschrieben:
haase hat geschrieben:Wir haben von mathTeX, einem CGI-Skript mit grandiosen Sicherheitslücken und DoS-Lücken, auf jsMath, eine reine Javascript-Variante umgestellt. Darfst gerne was besseres schreiben ;)
meine güte, als ob irgend ein wahnsinniger hier im forum allenernstes eine DoS Attake mittels diesen mathTeX starten würde, übertreibt ihr da nicht ein bissel mit euren sicherheitsvorkehrungen..?
Es ist schon passiert, und darauf haben wir reagiert. Jetzt aber husch zurück zum eigentlichen Thema ;)

aldara
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Re: Frage zu Eigenwerten und Gerschgorin Kreise...

Beitrag von aldara »

Um nochmal auf die Gerschgorin-Kreise zurückzukommen:

Wenn ich es richtig verstanden habe, ist die Sache (kompliziert ausgedrückt) so: In jeder durch die Kreise erzeugten Zusammenhangskomponente liegen genauso viele Eigenwerte, wie sie von Kreisen erzeugt wird.
Das heißt auf Deutsch, dass, wenn du einen isolierten Kreis hast, genau ein Eigenwert drin liegt. Wenn sich zwei Kreise schneiden, liegen in der Vereinigung 2 Eigenwerte, usw. Man kann aber nicht sagen, wo die Eigenwerte innerhalb der Vereinigungen liegen, also auch nicht, dass in jedem Kreis ein Eigenwert liegt - es sei denn, die Kreise schneiden sich untereinander nicht.
Wenn man einen Kreis mit Radius 0 hat (also einen Punkt) sollte das ein Eigenwert sein: Wenn er in einem anderen Kreis liegt nach dem Argument oben, sonst sollte es aber auch aus der Entwicklungsformel folgen, indem man einfach nach der Zeile entwickelt, in der nur der Diagonaleintrag steht.

Ich hoffe das war jetzt nicht zu konfus...

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oren78
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Re: Frage zu Eigenwerten und Gerschgorin Kreise...

Beitrag von oren78 »

@aldera: vielen dank für die erklärung, glaub ich hab's begriffen..
aldara hat geschrieben:Ich hoffe das war jetzt nicht zu konfus...
nein war es nicht, sehr klar ausgedrückt :wink:
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Steven
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Re: Frage zu Eigenwerten und Gerschgorin Kreise...

Beitrag von Steven »

Nur noch eine (kleinliche) Anmerkung zur Norm:
oren78 hat geschrieben:habe hier die Zeilensummennorm genommen, dürfte aber für jede andere Norm auch gehen...
Du brauchst gar keine Matrixnorm, da du einzelne Elemente betrachtest. A ist als C^NxN-Matrix definiert, also ist a(ij) Element von C^1. Daher hast du hier einfach den Betrag einer komplexen Zahl. Imho. ist eine Matrixnorm aber auch korrekt, man kann sich ja formal eine 1x1-Matrix definieren.

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