Konsistenzordnung ---> ODER Relation der Gleichungen ???

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oren78
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Konsistenzordnung ---> ODER Relation der Gleichungen ???

Beitrag von oren78 »

hallo miteinander,

im skript auf der seite 60, satz 7.1.6 stehen die gleichungen die die Konsistenzordnungen im Runge-Kutta-Verfahren beschreiben,
meine frage ist hier nun ob es eine "ODER" bzw. "UND" Relation zwischen den gleichungen gibt...

z.B.
...genau dann die Konsistenzordnung p = 3, falls die Koeffizienten zusätzlich den Gleichungen: A, B genügen
gilt also A UND B, oder eben A ODER B...???

falls es eine UND relation sein sollte, dann macht die aufgabe G25 kein sinn, dort soll gezeigt werden das das RK-Verfahren zu dem jeweiligen Butcher-Schema eine Konsistenzordnung von p >= 3 besitzt

---> die \(\alpha_{ij}\) sind jedoch allesamt \(= 0\), damit also \(B \neq \frac {1}{6}\) wie es auf der seite 60, satz 7.1.6 steht, mit anderen worten: wiederspruch \(\dagger\)

hat jemand 'ne idee..?
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aldara
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Re: Konsistenzordnung ---> ODER Relation der Gleichungen ???

Beitrag von aldara »

In dem Satz sollte eine UND Beziehung gelten, sonst ergibt es keinen Sinn.
Wie kommst du denn darauf, dass in der G25 alle \(\alpha_{ij} = 0\) sind? Im Butcherschema stehen rechts oben doch nicht nur Nullen?

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oren78
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Re: Konsistenzordnung ---> ODER Relation der Gleichungen ???

Beitrag von oren78 »

aldara hat geschrieben:In dem Satz sollte eine UND Beziehung gelten, sonst ergibt es keinen Sinn.
Wie kommst du denn darauf, dass in der G25 alle \(\alpha_{ij} = 0\) sind? Im Butcherschema stehen rechts oben doch nicht nur Nullen?
natürlich stehen da nullen :wink: ---> expl. Verfahren <----> butchschema = strikte untere Dreiecksmatrix !!

PS: falls matrix vollbesetzt, sprich nicht untere dreiecksmatrix ist, dann ist das verfahren implizit...siehe bild amigo:
(Runge Kutta) - Butcher Schema.jpg
(Runge Kutta) - Butcher Schema.jpg (26.03 KiB) 660 mal betrachtet
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aldara
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Re: Konsistenzordnung ---> ODER Relation der Gleichungen ???

Beitrag von aldara »

Also mit der Unterscheidung implizit <-> explizit bin ich ja einverstanden, in der G25 haben wir also ein explizites Verfahren. [Vielleicht noch als Anmerkung für den flüchtigen Leser: die Bezeichnungen \(\alpha, \beta, \gamma\) sind in dem Bild im Vergleich zum Skript verdreht]

Allerdings sind bei uns nicht alle \(\alpha_{i j} = 0\):
\(\alpha_{2 1} = \frac{1}{4}\)
\(\alpha_{3 2} = \frac{1}{2}\)
\(\alpha_{4 2} = \frac{1}{4}\)
\(\alpha_{4 3} = \frac{1}{2}\)
Alle anderen \(\alpha\) sind Null. So lese ich zumindest die Aufgabe, und damit ist auch die Anwendung vom Satz möglich. Ich lasse mich aber auch gerne eines Besseren belehren :wink:

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oren78
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Re: Konsistenzordnung ---> ODER Relation der Gleichungen ???

Beitrag von oren78 »

aldara hat geschrieben:Also mit der Unterscheidung implizit <-> explizit bin ich ja einverstanden, in der G25 haben wir also ein explizites Verfahren. [Vielleicht noch als Anmerkung für den flüchtigen Leser: die Bezeichnungen \(\alpha, \beta, \gamma\) sind in dem Bild im Vergleich zum Skript verdreht]

Allerdings sind bei uns nicht alle \(\alpha_{i j} = 0\):
\(\alpha_{2 1} = \frac{1}{4}\)
\(\alpha_{3 2} = \frac{1}{2}\)
\(\alpha_{4 2} = \frac{1}{4}\)
\(\alpha_{4 3} = \frac{1}{2}\)
Alle anderen \(\alpha\) sind Null. So lese ich zumindest die Aufgabe, und damit ist auch die Anwendung vom Satz möglich. Ich lasse mich aber auch gerne eines Besseren belehren :wink:
ich meinte auch die diagonal-elemente ---> \(\alpha_{jj} = 0\) hatte mich im ersten post verschrieben ;-)
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s!mon
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Re: Konsistenzordnung ---> ODER Relation der Gleichungen ???

Beitrag von s!mon »

Glaube du verstehst die Summenformel falsch. Du kannst das auch als zwei Summen schreiben. Einmal i=1 bis r und einmal j=1 bis r. Wie zwei Schleifen sozusagen.

Im Endeffekt guckst du dir alle betas (nehm jetzt mal die Bezeichnungen von deinem Bild) an die nicht 0 sind. Wenn du zB Beta23 hast nimmst du alpha2*beta23*gamma3. Ich hatte das in der Übung gerechnet und bin auf 1/6 gekommen.

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oren78
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Re: Konsistenzordnung ---> ODER Relation der Gleichungen ???

Beitrag von oren78 »

s!mon hat geschrieben:Glaube du verstehst die Summenformel falsch...
in der tat, dachte die Indizes haben die semantik i = j sprich also diagonalelemente...;-)
danke für die aufklärung Simon, jetzt hauts bei mir auch hin mit 1/6
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