Gerade und ungerade Funktionen (Regeln)

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Diablo
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Gerade und ungerade Funktionen (Regeln)

Beitrag von Diablo » 1. Sep 2011 18:02

Gibt es Regeln für gerade und ungerade Funktionen ?
Also etwas in der Art:

Es gilt g(x) = gerade Fkt. u(x) = ungerade Fkt. ( g(-x) = g(x) , u(-x) = -u(x) )

\(g(x) \cdot u(x) \rightarrow ungerade Fkt.\)

\(u(x) \cdot u(x) \rightarrow gerade Fkt.\)

\(g(x) \cdot g(x) \rightarrow ungerade Fkt.\)

\(g(u(x)) \rightarrow\) gerade Fkt.

\(u(g(x)) \rightarrow\) gerade Fkt. ( da ja g(x) = y und g(-x) = y ... damit gilt u(y)...

arne.lottmann
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Re: Gerade und ungerade Funktionen (Regeln)

Beitrag von arne.lottmann » 1. Sep 2011 19:14

Man kann das im Prinzip einfach durchrechnen (hab ich eben mal gemacht):
Seien also \(g: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit \(g(-x) = g(x)\) gerade und \(u: \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) mit \(u(-x) = -u(x)\) ungerade sowie \(x \in \mathbb{R}\).
Dann gilt:
\((g \cdot g)(-x) = g(-x) \cdot g(-x) = g(x) \cdot g(x) = (g \cdot g)(x) \Rightarrow\) gerade
\((g + g)(-x) = g(-x) + g(-x) = g(x) + g(x) = (g + g)(x) \Rightarrow\) gerade
\((u \cdot u)(-x) = u(-x) \cdot u(-x) = -u(x) \cdot (-u(x)) = u(x) \cdot u(x) = (u \cdot u)(x) \Rightarrow\) gerade
\((u + u)(-x) = u(-x) + u(-x) = -u(x) - u(x) = -(u(x) + u(x)) = -(u + u)(x) \Rightarrow\) ungerade
\((g \cdot u)(-x) = g(-x) \cdot u(-x) = g(x) \cdot (-u(x)) = -(g(x) \cdot u(x)) = -(g \cdot u)(x) \Rightarrow\) ungerade
\((g + u)(-x) = g(-x) + u(-x) = g(x) - u(x)\) ist unbestimmt.

eintopf
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Re: Gerade und ungerade Funktionen (Regeln)

Beitrag von eintopf » 7. Sep 2011 16:51

Dazu vielleicht nochmal interessant: http://de.wikipedia.org/wiki/Gerade_und ... Funktionen

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