F10 - Grenzwertberechnung

[nine]

Hallöchen,
hat irgendwer von euch den in der Aufgabenstellung gefragten Grenzwert BERECHNET?
Mir ist klar, dass sinh(x)/cosh(x) = tanh(x) ist und dass dieser für \(x \rightarrow - \infty\) gegen -1 geht.
Allerdings stellt sich da jetzt die Frage, ob das so reicht oder nicht, da das nicht wirklich gerechnet ist.
Und mit Rechnen/Umformen etc. bin ich leider nicht auf -1 gekommen, sondern hab mich im Kreis gedreht....

lg

[jls]

Du kannst z.B. die Definitionen \(sinh(x) = \frac{e^x - e^{-x}}{2}\) und \(cosh(x) = \frac{e^x + e^{-x}}{2}\) verwenden, dann kommst du auch rechnerisch auf -1 (Grenzwertsätze anwenden, dann kann man lim x -> -infinity e^x = 0 rechnen und es bleibt das Ergebnis)

[nine]

(: Danke.
Das Benutzen der Grenzwertsätze setzt zwar eigentlich voraus, dass wir wissen müssen, dass der Grenzwert exisitiert, aber naja.... besser als die tanh-Lösung auf jeden Fall

[Matthias Senker]

Eine alternative Lösung ist eine Substitution:

zunächst schreibt man sinh(x)/cosh(x) als (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x).
Nun substituiert man e^x durch t (und damit e^-x durch 1/t).

Wenn x gegen -oo geht, geht e^x gegen 0, also betrachtet man jetzt den (rechtsseitigen) Grenzwert für t gegen 0 von (t - 1/t) / (t + 1/t).

Nach 2 mal Hospital kommt man ganz einfach auf -1 als Lösung.

[pabloarias]

Substitution funktioniert

[nine]

Super, danke