Grenzwert (Konvergenzradius) Taylorreihe

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Diablo
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Grenzwert (Konvergenzradius) Taylorreihe

Beitrag von Diablo »

Hi,
wenn gilt f(0) \(\ne\) 0 und \(\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\)

warum kann ich das so sagen (Probeklausur):

\(\varrho = \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right|
= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{f^{(n+1)}(0)} {f^{(n)}(0)} \cdot \frac{n!}{(n+1)!}\right|
= \lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{f^{(n+1)}(0)} {f^{(n)}(0)} \cdot \frac{n!}{n!\cdot (n+1)}\right| > 0\)
:?:

womit

\(r = \frac{1}{\varrho} = \infty\)

Also es geht jetzt um den Grenzwert also \(\varrho\)

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Chase
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Re: Grenzwert (Konvergenzradius) Taylorreihe

Beitrag von Chase »

Ganz am Ende steht doch \(\lim_{n \rightarrow \infty} \left| \frac{1}{n+1}\right| = 0\), damit sollte ρ wie erwartet 0 sein, und r dann ∞

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