Hausübung 7 H1

jls
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Hausübung 7 H1

Beitrag von jls »

Hallo zusammen

Ich habe jetzt bei der H1 a) begonnen, zwecks Aufstellung der Taylorreihe wie im Skript erstmal einige Ableitungen zu bestimmen. Die zu suchende Regelmäßigkeit stellt sich schnell ein, aber mir will es beim besten Willen nicht gelingen die in einer Formel zusammenzufassen :/ hat da jemand einen Tipp für mich?

cwb38
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Re: Hausübung 7 H1

Beitrag von cwb38 »

Hallo,

mir ist es bis jetzt auch nicht gelungen, auf diese Weise eine "schöne" Reihe zu bekommen, d.h. es ist eine fette, hässliche Reihe, der man nicht unbedingt ansieht, dass es eine Taylorreihe ist. Allerdings ist es mir (zugegeben mit ein bisschen Hilfe von Mathematica) gelungen, eine Folge zu bestimmen, deren Glieder die Werte der n-ten Ableitung von f an der Stelle 0 sind (in der Folgenvorschrift kommen mehrere "i"-s vor). Man könnte versuchen über Induktion zu beweisen, dass die "geratene" Folge tatsächlich die gewünschten Werte liefert, denn dann kann man eine wirklich schöne Taylorreihe angeben!

Frage an Alle: War jemand auf andere Art erfolgreicher?

Matthias Senker
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Re: Hausübung 7 H1

Beitrag von Matthias Senker »

Ich versuch jetzt einfach mal, ein paar Tipps in den Raum zu werfen, ohne zu viel zu verraten.

EDIT: OK, zugegeben, die Tipps waren vielleicht etwas zu knapp. Ich wollte hier vorallem die Frage
"War jemand auf andere Art erfolgreicher" beantworten. (Betonung auf andere) Es ist nämlich möglich, eine sehr elegante Reihe zu finden, der man auch direkt ansieht, dass sie eine Taylorreihe ist und das auch ohne Mathematica.
Dafür muss man wissen, dass der Cosinus mit der Exponentialfunktion dargestellt werden kann, worauf man kommen kann, wenn man die Beziehung zwischen cos und cosh kennt (cos(x) = cosh(ix)). cosh haben wir ja mit Hilfe der Exponentialfunktion definiert.
Dann ist f nur durch Exponentialfunktionen darstellbar. Die kann man als Exponentialreihen aufschreiben und zu einer Reihe zusammenfassen. In dieser Reihe begegnet man dann ein paar komplexen Zahlen. Wenn man die in Polarkoordinaten ausdrückt und die Eulersche Formel anwendet, kommt man, mit etwas Geschick, auf eine gute, kurze Lösung!

Ich gebe zu, das ist schon sehr umständlich, aber wie gesagt das Ergebnis ist recht schick.
Zuletzt geändert von Matthias Senker am 2. Jun 2011 01:21, insgesamt 2-mal geändert.

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Diablo
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Re: Hausübung 7 H1

Beitrag von Diablo »

Was ist dass den für ein Tipp ....

Also ich habe mehr oder weniger mit den Taylorpolynomen gearbeitet.

- Ableitungen von der Funktion gebildet bis wieder die funktion nur mit einer konstanten herauskam. (war bei der 4ten Ableitung dann so)
-- d.h. bei der xten ableitung (z.B. 4ten) habe ich C*f(x) dann weis ich dass die nächste Ableitung davon einfach C * f'(x) ist...
- Reihebilden in dem die aufstellung des Taylorpolynoms verwendet wird. (hier immer nur mit f' aufschreiben nicht einsetzen)
- Reihe so anpassen, dass berücksichtigt wird das ich bis kten grades das Polynom genommen habe und somit diese Schrittweite gehen muss.
- x0 = 0 einsetzen

Beispiel 5.2.14 auf Seite 215 im Skript kann hier vielleicht auch weiter helfen

jls
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Re: Hausübung 7 H1

Beitrag von jls »

Ich werde es dann nochmal so versuchen, 5.2.14 hat mir allerdings nicht sehr weitergeholfen weil sich dort die n-te Ableitung elegant verallgemeinern lässt und auch der Induktionsbeweis da relativ leicht fällt. Bei mir taucht f(x) zwar auch schnell wieder mit einer Konstante auf, die Ableitungen bis dahin aber lassen sich nur in einer "wenn-falls" klammer darstellen :/ Danke trotzdem bis jetzt!

neoatlant
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Re: Hausübung 7 H1

Beitrag von neoatlant »

Danke, Matthias für deinen Tipp, hat recht geholfen ;)

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