Klausur SS10

[truongln88]

Nur weil sie an einer Stelle den Abstand 2 haben muss es ja nicht der kleinste sein. Aber nach Mehrheit stimmts wohl.
Naja ich hab' die erste nicht zu Ende gebracht. Bei der 1 und 3 stecken bestimmt irgendwo Fehler - liefen nicht ganz rund. Die letzten liefen dagegen besser.

Aufgabe 6 hat da jemand sowas wie: \(A_{1}=0 ,\ A_{0}=1 ,\ B_{1}=1 ,\ B_{0}=0\) ? Ergebnis schon wieder vergessen.

Ich habe eine Lösung für inhomogene Gleichung gefunden \(x\cdot \left ( \cos{x}\cdot \left( \frac{-1}{4}x \right) + \sin{x}\cdot \left( \frac{1}{4}\right ) \right)\)

[AlexPi11]

Die Form sieht schonmal gut aus.

Ok - WolramAlpha sagt das gleiche. (Lösung)

[Wambolo]

Ich fand die Klausur zu lang, da muss man schon sehr fix sein um gut durchzukommen. 2h Bearbeitungszeit wären auch angemessen gewesen. Ansonsten war die Klausur inhaltlich gesehen ok.
Der Abstand 2 müsste bei der 1 korrekt sein. Hab das gerade nochmal nachgerechnet. In der Klausur habe ich mich leider trotz richtigem Ansatz beim einfachen Addieren verrechnet. Mal gespannt was insgesamt rauskommt. Wenn ich Euch so höre habe ich natürlich wenig Hoffnung, dass die Bestehensgrenze runtergesetzt wird.

Hat jemand die Veranstalter gefragt wann sie korrigieren wollen?

[zimpfer]

3 Wochen soll die Korrektur dauern, wurde im Hexagon gesagt

[_Peter_]

Ich fand die Klausur im Rahmen dessen, was ich gelernt habe (Lernaufwand von 6 Wochen - bei Mathe geh ich auch trotz Erstversuch lieber ne Nummer sicher) machbar, aber zeitlich etwas kurz bemessen.
Ich bin zügig durchgegangen und mir ist jetzt auch im Nachhinein klar (wolframalpha sei dank) dass ich im Zuge des Zeitstresses auch einige Fehler gemacht habe.

Ich bin jedenfalls mal gespannt wie die Punktegrenzen gelegt werden.

[LinuxFan]

@LinuxFan: Wie kommste denn bei der Aufgabe auf ln? (1/x)' = -1/x^2

lol, jetzt hatte ich mich so mit integralen befasst - ach ist das ärgerlich... ich habs vertauscht.

[dosinfo]

Ich kann mich nur dem anschließen, was da bereits geschrieben wurde. Fraglich bleibt natürlich in erster Linie der Zeitaufwand um z.B allein die Lösung aufzuschreiben. Das kommt mit 90 min und insgesamt 58 Punkten bestimmt nicht hin. Trotzdem habe ich jetzt ein gutes Gefühl und einziges was mich nach der Korrektur noch ärgern kann, dass man hier und da etwas übersehen hat oder einfach mehr rausholen konnte.

ps

für die 3b) möchte ich Peter für seinen Beitrag für die ähnliche Aufgabe einfach bedanken, weil es immerhin 3 Punkte sind

Gruß

Oleg

[SaschaWinf]

Hi,

ich fand die Klausur sehr gut und machbar. LinuxFan hat hier vorher schonmal seine Ergebnisse gepostet. Leider kann ich nur sagen, dass alle scheinbar falsch sind.

Zu 1:
Abstand ist 2.
Am leichtesten ist es jeweils 2 Ebenen aufzustellen mit (x1-x2) und (y1-y2) als Ebenenvektoren und x1 bzw y1 als Stützvektoren. In Hessenormalform sieht das dann so aus:
n*r1=d1 und n*r2=d2. Um d1 und d2 zu ermitteln holen wir uns einan auf Länge 1 normierten normalenvektor n und führen Skalarmultiplikation <n,x1>=d1 und <n,y1>=d2 durch.
Der Abstand ist dann d(X,Y)=|d1-d2|=2 (Bei der Ebene ist d der Abstand zum Mittelpunkt).

Zu 2:
a) Zeilen vertauschen, fertig.
b) Zum Beispiel hat die Matrix ((0 0), (1 0)) die aufgestellte Bedingung erfüllt hat aber den Eigenvektor (1, 0) und (0,0) die keine Basis für R² bietet. Ich denke es ist als korrekte Lösung anzusehen, wenn man beweist, dass es eine Matrix gibt, deren Eigenvektoren nicht eine Basis für den R² bilden. Bzw zeigt, dass nicht jede 2x2 Matrix auch 2 Eigenvektoren hat.

Zu 3:
Hier hat LinuxFan integriert statt abzuleiten.
a)
D(f)(x)= (-1/x² + y, 1/y² + x)
Man kommt auf den kritischen Punkt (-1 , 1) für den die Hessematrix ((-2 1),(1 -2)) negativ definit ist, weshalb es sich um einen Maximalpunkt handelt.
b)
Es gibt keine globalen Extrema, da für f(x,1) gilt:
lim (x->inf) von f(x,1) = inf
und
lim (x->-inf) von f(x,1) = -inf

Zu 4:
LinuxFan lag diesmal nur knapp daneben, leider erfüllen seine Punkte nicht die Nebenbedingung (wenn man einsetzt erhält man 0,2 = 1)
Die richtigen Punkte sind: (1/wurzel(5), -4* 1/wurzel(5)) und (-1/wurzel(5), 4* 1/wurzel(5)).
Der vollständig keit halber:
D(f)=(1, -1), D(g)=(2x, y/2)
-> 1= 2lambda x
und -1 = lambda y/2
nach lambda freistellen und gleichsetzen ergibt:
lambda = 1/(2x) = -2/y
Nach x oder y auflösen und in die Nebenbedingung einsetzen liefert uns das Ergebnis.

Zu 5:
Ergebnis war wie erwähnt x²
Homogene Lösung:
y'=y/x <=> dy/dx=y/x <=> 1/y dy = 1/x dx | Integrieren
-> ln y = ln x + c <=> y = e^c * x = c*x
Inhomogene Lösung mit Variation der Konstanten:
y = c(x)*x -> y'=c(x) + c'(x)*x (Produktregel)
In anfängliche DGL eingesetzt:
c(x)+c'(x)*x = (c(x)*x)/x + x | - c(x)
c'(x)*x = x |/x
c'(x) = 1 | Integrieren
c(x) = x + c

in y eingesetzt: y=c(x)*x = (x+c)*x
Nun die Anfangsbedingung eingesetzt:
y(1)=1=(1+c)*1=1+c -> c=0
=> y=(x+0)*x = x²

Zu 5:
y''+y = x sin x
-> Störfunktion b(x) hat die Form b(x) = p(x)*e^(alpha * x)*sin(beta * x)
mit p(x) = x, alpha = 0, beta = 1
da lambda = alpha + i*beta = i eine (einfache) Nullstelle des charateristischen Polynoms
P(lambda)=lambda²+lambda ist sieht die Lösung PSI folgendermassen aus:
PSI(x) = x¹*(cos(x)*(A1*x+A0)+sin(x*)(B1*x+B0))
Nun mus man PSI 2 mal ableiten (auf innere Ableitung von Sinus und Cosinus achten, hab ich in der Klausur vergessen... ) und kann es dann in die Anfangsbedingung einsetzen um A1, A0, B0 und B1 zu bestimmen.
Lösung ist, wenn Truongln88 Recht hat:
x*(cos(x)*(-0,25x)+sin(x)*(0,25x))

ich hoffe das hilft manchen unsicheren Geistern weiter
mfG Sascha

Edit: Aufgabe 6 leicht Berichtigt...hatte falsche Formel auf meinem Formelblatt stehen....mist
Edit: Korrekturen von unten mal hier hin geschrieben

[jül]

Hi,

Man kommt auf den kritischen Punkt (-1 , 1) für den die Hessematrix ((2 1),(1 -2)) aber indefinit ist, weshalb es sich (glaube ich) um einen Sattelpunkt handelt.

Auch wenn du erschreckend viel richtig hast, da muss ich leider widersprechen
Ist ein lokales Maximum. Siehe
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... %2Fy+%2Bxy

[Mutalisk]

Hi,

Man kommt auf den kritischen Punkt (-1 , 1) für den die Hessematrix ((2 1),(1 -2)) aber indefinit ist, weshalb es sich (glaube ich) um einen Sattelpunkt handelt.

Auch wenn du erschreckend viel richtig hast, da muss ich leider widersprechen
Ist ein lokales Maximum. Siehe
http://www.wolframalpha.com/input/?i=1% ... %2Fy+%2Bxy

Oha. Die Matrix hat die Determinatne -4, so mit muss ein Eigenwert positiv und einer negativ sein => indefinit => Sattelpunkt.
Kann mir einer erklären warum Wolfram da was anderes rausbekommt ?

[franzose]

@SaschaWinf

zu Aufg. 2b) auch wenn es stimmt (glaube ich) dass die Eigenvektoren nicht immer eine Basis von R^2 bilden, ist dein Beispiel doch falsch oder? ich bekomme bei der Matrix {{1,1},{0,0}} die Eigenvektoren (1,0) und (-1,1) heraus.... (Eigenwerte sind 1 und 0)

3a) deine Hesse-Matrix ist falsch: richtig ist {{-2,1},{1,-2}} und somit bekommt man die 2 Eigenwerte -1 und -3 raus => neg.def. => isol. lok. Max.

bei der 3b) muss man noch zeigen, dass auch gegen den Punkt (0,0) die Funktion divergiert und somit auch dort keine globalen Extrema existieren

[truongln88]

3a) deine Hesse-Matrix ist falsch: richtig ist {{-2,1},{1,-2}} und somit bekommt man die 2 Eigenwerte -1 und -3 raus => neg.def. => isol. lok. Max.

Du hast Recht! Ich hab aber anders gemacht. Die Matrix ist symmetrisch, die Determinanten sind -2 und 3 => negativ definit => isoliertes lokales Maximum

[SaschaWinf]

Ok stimmt hab die Hessematrix verhaun, hab wohl (1,1) eingesetzt statt (-1,1). Dass die Matrix in 2b) nicht stimmt ist mir dann auch vorhin klar geworden. Dumme Sache, jetzt stimmt mein Gegenbeispiel nicht mehr, ob es wenigstens Teilpunkte für beides gibt? Weis einer wie das gehandhabt wird?

[mithrawnuruodo]

Mal eine ganz dumme Frage warum war es bei der 1 nicht richtig einfach die beiden geraden Gleichungen aufzustellen und dann den Betrag des Abstandsvektors zwischen den beiden Geraden Aufpunkten zu bestimmen (womit ich auf \(\sqrt{6}\) kam ... )
Ansonsten find ich es auch etwas seltsam das ihr für die Extrema einzelne Punkte raus habt. Wenn man sich die funktion mal plottet hat die unendlich viele Maxima und Minima (zumindest wenn ich mich jetzt noch richtig an die Funktion erinnert habe). Was Lagrange angeht hab ich wohl mist gemacht ich hab vergessen dass man das in die Nebenbedingung noch einsetzen muss und dann halt ein parametrisiertes Ergebniss angegeben also von wegen die Funktion ist bei den Punkten ( lambda, bla(lambda) ) Maximal. Naja mal sehen was bei raus kommt.

[AlexPi11]

Der Abstand ist ja nicht konstant; je nachdem bei welchem Punkt man eben startet. Man braucht also das Minimum von:
f(Punkt auf Gerade) = (kleinster)Abstand zur anderen Gerade

f(Minmum) müsste dann auch stimmen