Lösung der alten Klausur

Andreas P.
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 61
Registriert: 21. Okt 2009 16:29

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von Andreas P. »

@tonti: Also ich ab das so gemacht, dass ich E und g in Parameterform dargestellt hab, dann gleichsetzen, die Variablen ausrechnen, und dann in g oder E einsetzen und dann hat man den Schnittpunkt.

So jetzt hab ich ein Problem bzgl. Aufgabe 4:
_Peter_ hat geschrieben:Ich geb einfach "x - y², x²+y² = 1" ein ;)

E: So, hab jetzt auch deinen Ansatz verfolgt und dann auch das mit y = 0 rausbekommen.

Einfach

\(-2y = \lambda 2y\)
\(\lambda 2y + 2y = 0\)
\(2y(\lambda + 1) = 0\)

Die Gleichung ist ja erfüllt wenn \(y = 0\) oder \(\lambda = -1\)

Das \(y_{1}\) kann ich dann schön gemütlich in die Nebenbedingung einsetzen und mein \(x_{1}\) berechnen.

Danach ermittel ich mittels meinem Lambda \(x_{2}\), setze das in die Nebenbedingung ein und bestimme dann \(y_{2}\)
Ja ok, das klingt ja ganz logisch.
Aber gibt es denn kein Standardrezept wie ich die Extrema unter NB löse?
In der Übung 14 z.B. haben die
- erst nur den Gradienten von f betrachtet,
- dann haben sie den Lagrange-Multiplikator genutzt, indem sie einmal x = 0, dann y= 0 ,
- dann x,y \(\not=\) 0 indem sie nach lambda aufgelöst und dann beide Terme gleichgesetzt haben, und haben so die 8 Pkt oder wie herausbekommen.
Wenn ich so ähnlich hier vorgehe endets in ner Katastrophe.
Ich hab jetzt z.B. folgendes gemacht:
Ich hab nur den Lagrange Multiplikator benutzt, sodass ich folgendes machen konnte:
I. 1 = 2 \(\lambda\)x ;
II. -2y = 2\(\lambda\)y .

II hab ich mit x multipliziert =>
-2xy = 2\(\lambda\)yx
. Dann hab ich y gekürzt:
-2x = 2\(\lambda\)x
und dies dann praktisch in I eingesetzt bzw. bzgl 2\(\lambda\)x gleichgesetzt =>
1 = -2x
. Somit kann ich x = -1/2 bestimmen und in die NB eingeben, woraus sich y1 und y2 ergibt.. aber so komm ich wieder net auf die anderen 2 Punkte...

Da muss es doch ne Methode geben zum Teufel?

mfG

Wambolo
Computerversteher
Computerversteher
Beiträge: 381
Registriert: 18. Okt 2007 11:36

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von Wambolo »

Aufgabe 2:

Also ich raffs irgendwie gerade nicht, wie man die Eigenvektoren richtig bestimmt. Die Eigenwerte habe ich korrekt berechnet. Dann habe ich ein Gleichungssystem aus der Matrix A - lambda*I aufgestellt und dort habe ich festgestellt, dass die erste und die Zweite Zeile linear abhängig sind. Also habe ich x2 = my gewählt und dann x1 in Abhängigkeit von my bestimmt. Bin ich irgendwie falsch vorgegangen?

die Gleichung der ersten Zeile lautet bei mir -lambda*x1 + x2 = 0

Vielen Dank für Eure Hilfe.


Edit: Hat sich erledigt, hab gerade nicht gerafft, dass -2/(1+sqrt(5)) = (1-sqrt(5)) / 2

tonti
Erstie
Erstie
Beiträge: 21
Registriert: 14. Okt 2006 22:47

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von tonti »

gregor hat geschrieben:
jül hat geschrieben: Spezielle Lösung:
\(\psi(x) = \begin{pmatrix} -x \\ 2 \end{pmatrix}\)
wie kommt man auf die spezielle lösung?
das homogene ist klar.
würde ich auch gerne erfahren??

boss
Erstie
Erstie
Beiträge: 15
Registriert: 5. Okt 2009 12:40

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von boss »

hat sich erledigt!

Benutzeravatar
LinuxFan
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 73
Registriert: 29. Sep 2008 15:21
Wohnort: Bensheim
Kontaktdaten:

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von LinuxFan »

dosinfo hat geschrieben:
JanM hat geschrieben:Könnt ihr mir vielleicht ein Tipp geben wie man bei der 5 auf die Lösung kommt? Ich hab für \(\varphi (x) = exp(0.5 x^2)\) raus und dann müsste ich ja für \(\psi\) irgendwie \(\frac{x}{exp(0.5 x^2)}\) integrieren und das bekomm ich nicht hin. :(
Hi,

1) klammere x auf der rechten seiten aus
2) dann die Gleichung durch y+1 teilen --> hast du 1/ y+1 * y' = x stehen
3) y' differential als dy/dx ausschreiben und die Gleichung mit dx multiplizieren
4) dann hast du unfefähr sowas stehen 1/y+1 *dy = x * dx --> also auf beiden seiten inegrieren und dabei die C1 Konstente nicht vergessen
5) um y aus ln|y+1| zu eliminieren, die Gleichung auf beiden Seiten exp() nehemen

Gruß

Oleg
Hallo,

einfacher geht's meiner Meinung nach so:
1) x ausklammern (y' = x*(y+1))
2) dann hat die DGL die Form y' = f(x)*g(y), f(x) = x, g(y) = y+1
3) Jetzt ist Trennung der Variablen möglich, mit y(a) = b, a = 0, b = 0

Habe als Lösung auch exp(1/2 * x^2) - 1

Gruß
Victor
Victor-Philipp Negoescu
http://www.viathinksoft.de

Benutzeravatar
Piet
Neuling
Neuling
Beiträge: 9
Registriert: 25. Okt 2005 10:28
Wohnort: Darmstadt

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von Piet »

jül hat geschrieben:Zur Aufgabe 4:
Ich hab zunächst 4 "kritische Punkte" bestimmt, die als Extrema in Frage kommen:

(1,0), (-1,0), (-0.5, sqrt(3/4)), (-0,5, -sqrt(3/4))

Die 4 Punkte kommen daher, dass ich bei der zweiten Lagrange-Gleichung (-2y = lambda * 2y) eine Fallunterscheidung gemacht hab, je nachdem ob y gleich 0 ist oder nicht.

Dann alle 4 Punkte in f eingesetzt und Maximum/Minimum an den Funktionswerten abgelesen. Dann kommt dabei raus
- 2 Minima bei (-0.5, sqrt(3/4)), (-0,5, -sqrt(3/4)) (-> gleicher Funktionswert an diesen Stellen)
- Maximum bei (1,0)
Hi,

Mir ist klar wie man auf die 4 kritischen Punkte kommt, aber mit welchem Kriterium hast du denn den Punkt (-1,0) ausgeschlossen? Aus dem Bauch heraus hätte ich ihn wahrscheinlich auch ausgeschlossen, nur ist mir nicht klar wie ich das mathematisch begründen soll.
Kannst du mir helfen?

gregor
BASIC-Programmierer
BASIC-Programmierer
Beiträge: 101
Registriert: 14. Okt 2008 07:20
Wohnort: Darmstadt
Kontaktdaten:

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von gregor »

das war quatsch

Benutzeravatar
dosinfo
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 40
Registriert: 23. Okt 2007 20:59

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von dosinfo »

_Peter_ hat geschrieben:So, hab mal die 6te Aufgabe gemacht:
Zu erst hab ich die homogene Lösung bestimmt:

mit den Eigenvektoren \(\lambda _{1} = i\) und \(\lambda _{2} = -i\)
waren die Eigenvektoren \(a _{1} = \begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}\)
und \(a _{2} = \begin{pmatrix} -i\\ 1 \end{pmatrix}\)

damit erhalte ich...
Es ist schon eine gute Sache, aber wie sollte man die Eigenvektoren letztendlich wählen, denn die Richtigen sind in dem Fall auch laut Script S. 187-188 die hier

\(a _{1} = \begin{pmatrix} 1\\ -i \end{pmatrix}\) und \(a _{1} = \begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix}\)

und ohne die beiden kommt man natürlich nie auf die richtige Lösung. Ich bin immer noch am rätseln welches Paar ich dann nehmen soll, da die Lösung von der Wahl des Eigenvektorpaares stark und bis auf umgekehrt abweicht.


Gruß

Oleg
"Wichtig ist, dass man nicht aufhört zu fragen.
- Es genügt, wenn man versucht, an jedem Tag lediglich ein wenig von diesem Geheimnis zu erfassen.
- Es ist einfacher, radioaktives Plutonium zu entsorgen als das Böse im Menschen. ...."

Benutzeravatar
dosinfo
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 40
Registriert: 23. Okt 2007 20:59

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von dosinfo »

LinuxFan hat geschrieben: .....
Habe als Lösung auch exp(1/2 * x^2) - 1

Gruß
Victor
Ich habe doch denselben Lösungsweg allerdings etwas ausführlicher ausgeschrieben :wink:
"Wichtig ist, dass man nicht aufhört zu fragen.
- Es genügt, wenn man versucht, an jedem Tag lediglich ein wenig von diesem Geheimnis zu erfassen.
- Es ist einfacher, radioaktives Plutonium zu entsorgen als das Böse im Menschen. ...."

Benutzeravatar
LinuxFan
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 73
Registriert: 29. Sep 2008 15:21
Wohnort: Bensheim
Kontaktdaten:

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von LinuxFan »

dosinfo hat geschrieben:
LinuxFan hat geschrieben: .....
Habe als Lösung auch exp(1/2 * x^2) - 1

Gruß
Victor
Ich habe doch denselben Lösungsweg allerdings etwas ausführlicher ausgeschrieben :wink:
Stimmt ja sogar! :D
Victor-Philipp Negoescu
http://www.viathinksoft.de

Benutzeravatar
John
Endlosschleifenbastler
Endlosschleifenbastler
Beiträge: 167
Registriert: 12. Dez 2008 17:41
Wohnort: E-Pool

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von John »

Zur Aufgabe 6:
jül hat geschrieben:Allgemeine Lösung:
\(\varphi = \begin{pmatrix} -x \\ 2 \end{pmatrix} + c_{1} \begin{pmatrix} cos(x) \\ sin(x) \end{pmatrix} + c_{2} \begin{pmatrix} -sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix}\)
Interessant, ich hab das etwas allgemeiner..
\(\psi(x) = \begin{pmatrix} 2\ sin(x) - x\ cos(x) \\ 2\ cos(x) + x\ sin(x) \end{pmatrix} + c_{1} \begin{pmatrix} cos(x) \\ sin(x) \end{pmatrix} + c_{2} \begin{pmatrix} -sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix}\)

Wieso setzt du hier einen konkreten Wert im ersten Teil von \(\psi(x)\) ein?

EDIT:

Aha, jetzt sehe ichs. Der erste Teil muss noch mit \(\Phi(x)\) multipliziert werden, dann stimmts. Ugh.
DON'T PANIC

_Peter_
Endlosschleifenbastler
Endlosschleifenbastler
Beiträge: 170
Registriert: 1. Okt 2007 19:56

Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

dosinfo hat geschrieben:
_Peter_ hat geschrieben:So, hab mal die 6te Aufgabe gemacht:
Zu erst hab ich die homogene Lösung bestimmt:

mit den Eigenvektoren \(\lambda _{1} = i\) und \(\lambda _{2} = -i\)
waren die Eigenvektoren \(a _{1} = \begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}\)
und \(a _{2} = \begin{pmatrix} -i\\ 1 \end{pmatrix}\)

damit erhalte ich...
Es ist schon eine gute Sache, aber wie sollte man die Eigenvektoren letztendlich wählen, denn die Richtigen sind in dem Fall auch laut Script S. 187-188 die hier

\(a _{1} = \begin{pmatrix} 1\\ -i \end{pmatrix}\) und \(a _{1} = \begin{pmatrix} 1\\ i \end{pmatrix}\)

und ohne die beiden kommt man natürlich nie auf die richtige Lösung. Ich bin immer noch am rätseln welches Paar ich dann nehmen soll, da die Lösung von der Wahl des Eigenvektorpaares stark und bis auf umgekehrt abweicht.


Gruß

Oleg
Das ist schon so lang her, dass ich das gerechnet hatte. Vielleicht hab ich mich ja auch einfach verrechnet. Kann ich jetzt nicht mehr einschätzen.

Grüße.

Edit: aber die Eigenvektoren sind ja wohl offensichtlich äquivalent. a1 ist das i fache und a2 das -i fache.
Der Eigenraum ist demnach identisch.
Das hat alles seine Korrektheit.

Antworten

Zurück zu „Archiv“