Lösung der alten Klausur

jül
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von jül »

Wegen der 3: gut, da bin ich beruhigt. Bei der letzten Klausur wurden mir bei sowas nämlich ordentlich Punkte abgezogen in für mich unverständlicher Weise, deshalb die Angst vor solchen Begründungen ;)

Ähm nee, ne Musterlösung hab ich jetzt ned grad zur Hand. Was mir bei Lagrange zum überprüfen aber immer weiterhilft, ist das hier:
http://ocw.mit.edu/ans7870/18/18.02/f07 ... ables.html
Da sieht man dann, dass es 4 kritische Punkte geben muss (im Applet sind das die Schnittpunkte von "gelb" und "rot").

Wie lässt du dir sowas eigentlich mit Wolfram berechnen? Ich kenne nur diesen "Integrator" von denen...
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_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

Ich geb einfach "x - y², x²+y² = 1" ein ;)

E: So, hab jetzt auch deinen Ansatz verfolgt und dann auch das mit y = 0 rausbekommen.

Einfach

\(-2y = \lambda 2y\)
\(\lambda 2y + 2y = 0\)
\(2y(\lambda + 1) = 0\)

Die Gleichung ist ja erfüllt wenn \(y = 0\) oder \(\lambda = -1\)

Das \(y_{1}\) kann ich dann schön gemütlich in die Nebenbedingung einsetzen und mein \(x_{1}\) berechnen.

Danach ermittel ich mittels meinem Lambda \(x_{2}\), setze das in die Nebenbedingung ein und bestimme dann \(y_{2}\)

_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

So, hab mal die 6te Aufgabe gemacht:
Zu erst hab ich die homogene Lösung bestimmt:

mit den Eigenvektoren \(\lambda _{1} = i\) und \(\lambda _{2} = -i\)
waren die Eigenvektoren \(a _{1} = \begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}\)
und \(a _{2} = \begin{pmatrix} -i\\ 1 \end{pmatrix}\)

damit erhalte ich:
\(\varphi _{1} = \begin{pmatrix} ie^{it}\\e^{it} \end{pmatrix}\)
und
\(\varphi _{2} = \begin{pmatrix} -ie^{-it}\\e^{-it} \end{pmatrix}\)

Zur homogenen Lösung hab ich den Ansatz der Variation der Konstanten gemacht.
\(u(x) = \frac{1}{2i}\int_{0}^{x} \begin{pmatrix} ite^{-it}+e^{-it} \\ ite^{it} - e^{it} \end{pmatrix} dt\)

erhalte dann

\(u(x) =
\begin{pmatrix}
\left ( \frac{1 - i}{2i} \right )\left ( ie^{-ix}+i \right )-\frac{i}{2}x\left ( e^{-ix} \right )\\
\left ( \frac{1 + i}{2i} \right )\left ( ie^{ix}+i \right )-\frac{i}{2}x\left ( e^{ix} \right )
\end{pmatrix}\)


und dann mit \(\psi (x)=\phi (x)\cdot u(x)\)

\(\psi (x)=\begin{pmatrix}
e^{ix}(1 - \frac{i}{2})-e^{-ix}(1+\frac{i}{2})+x+1\\ e^{ix}(\frac{1}{2} + i)+e^{-ix}(\frac{1}{2} - i)+x+i

\end{pmatrix}\)


Als Lösung des inhomogenen Problems erhalte ich also:

\(L_{I} =
\begin{pmatrix}
e^{ix}(1 - \frac{i}{2})-e^{-ix}(1+\frac{i}{2})+x+1\\ e^{ix}(\frac{1}{2} + i)+e^{-ix}(\frac{1}{2} - i)+x+i

\end{pmatrix}

+c_{1}\begin{pmatrix} ie^{it}\\e^{it} \end{pmatrix}+c_{2}\begin{pmatrix} -ie^{-it}\\e^{-it} \end{pmatrix}\)


So, und wenn ich das in ner Klausur hätte machen müssen, dann hätt die Zeit nie gelangt :D
Zuletzt geändert von _Peter_ am 29. Aug 2010 21:13, insgesamt 3-mal geändert.

rh1007
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von rh1007 »

_Peter_ hat geschrieben:So, hab mal die 6te Aufgabe gemacht:
Zu erst hab ich die homogene Lösung bestimmt:

mit den Eigenvektoren \(\lambda _{1} = i\) und \(\lambda _{2} = -i\)
waren die Eigenvektoren \(a _{1} = \begin{pmatrix} i\\ 1 \end{pmatrix}\)
und \(a _{2} = \begin{pmatrix} -i\\ 1 \end{pmatrix}\)

damit erhalte ich:
\(\varphi _{1} = \begin{pmatrix} ie^{it}\\e^{it} \end{pmatrix}\)
und
\(\varphi _{2} = \begin{pmatrix} -ie^{-it}\\e^{-it} \end{pmatrix}\)

Zur homogenen Lösung hab ich den Ansatz der Variation der Konstanten gemacht.
\(u(x) = \frac{1}{2i}\int_{0}^{x} \begin{pmatrix} ite^{-it}+e^{-it} \\ ite^{it} - e^{it} \end{pmatrix} dt\)

erhalte dann

\(u(x) =
\begin{pmatrix}
\left ( \frac{1 - i}{2i} \right )\left ( ie^{-ix}+i \right )-\frac{i}{2}x\left ( e^{-ix} \right )\\
\left ( \frac{1 + i}{2i} \right )\left ( ie^{ix}+i \right )-\frac{i}{2}x\left ( e^{ix} \right )
\end{pmatrix}\)


und dann mit \(\psi (x)=\phi (x)\cdot u(x)\)
Die Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems von Aufgabe 6 steht ebenfalls im Matheskript
(Seite 187,188) wobei ausgenutzt wird das exp(i*t) = cos(t) + i * sin(t) ist. Soweit kann ich diesem Ansatz
auch Folgen, allerdings wird dann im Skript gesagt das sich die beiden linear-unabhängigen Lösungen
ablesen lassen, was mir allerdings dann nicht so klar ist. Vielleicht ist hier jemand, der mir erklären kann,
wie sich die reelen Lösungen aus den dort gegebenen Lösungen ableiten lassen.

Mfg
rh1007

jül
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von jül »

Ich bin genauso vorgegangen wie auf Seite 185/186 erklärt und bin vom Fundamentalsystem für den homogenen Teil ausgegangen, so wie es im Skript verwendet wurde.
Dann kommt für die Klausuraufgabe folgendes raus:

Spezielle Lösung:
\(\psi(x) = \begin{pmatrix} -x \\ 2 \end{pmatrix}\)

Allgemeine Lösung:
\(\varphi = \begin{pmatrix} -x \\ 2 \end{pmatrix} + c_{1} \begin{pmatrix} cos(x) \\ sin(x) \end{pmatrix} + c_{2} \begin{pmatrix} -sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix}\)
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_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

rh1007 hat geschrieben:Die Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems von Aufgabe 6 steht ebenfalls im Matheskript
(Seite 187,188) wobei ausgenutzt wird das exp(i*t) = cos(t) + i * sin(t) ist. Soweit kann ich diesem Ansatz
auch Folgen, allerdings wird dann im Skript gesagt das sich die beiden linear-unabhängigen Lösungen
ablesen lassen, was mir allerdings dann nicht so klar ist. Vielleicht ist hier jemand, der mir erklären kann,
wie sich die reelen Lösungen aus den dort gegebenen Lösungen ableiten lassen.

Mfg
rh1007
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_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

jül hat geschrieben:Ich bin genauso vorgegangen wie auf Seite 185/186 erklärt und bin vom Fundamentalsystem für den homogenen Teil ausgegangen, so wie es im Skript verwendet wurde.
Dann kommt für die Klausuraufgabe folgendes raus:

Spezielle Lösung:
\(\psi(x) = \begin{pmatrix} -x \\ 2 \end{pmatrix}\)

Allgemeine Lösung:
\(\varphi = \begin{pmatrix} -x \\ 2 \end{pmatrix} + c_{1} \begin{pmatrix} cos(x) \\ sin(x) \end{pmatrix} + c_{2} \begin{pmatrix} -sin(x) \\ cos(x) \end{pmatrix}\)
Ah, lol, ja, die Matrix ist die gleiche, da ich nicht die reelen Lösungen extrahiert hab, wars mit den komplexen doch etwas aufwändiger :D

rh1007
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von rh1007 »

_Peter_ hat geschrieben:
rh1007 hat geschrieben:Die Lösung des homogenen Differentialgleichungssystems von Aufgabe 6 steht ebenfalls im Matheskript
(Seite 187,188) wobei ausgenutzt wird das exp(i*t) = cos(t) + i * sin(t) ist. Soweit kann ich diesem Ansatz
auch Folgen, allerdings wird dann im Skript gesagt das sich die beiden linear-unabhängigen Lösungen
ablesen lassen, was mir allerdings dann nicht so klar ist. Vielleicht ist hier jemand, der mir erklären kann,
wie sich die reelen Lösungen aus den dort gegebenen Lösungen ableiten lassen.

Mfg
rh1007
http://www.d120.de/forum/viewtopic.php?f=172&t=20265
Danke,

ein aufschlussreicher Link.

Mfg
rh1007

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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von dosinfo »

_Peter_ hat geschrieben:Aufgabe 2
Hab folgende Eigenräume raus:
für den Eigenwert \(\lambda _{1}= \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\):

\(\left \{ t\begin{pmatrix}\frac{1 + \sqrt{5}} {2}\\ 1\end{pmatrix} \right \}\)

.......

Hab die Probe gemacht. Ist korrekt.

Wie kommst du denn auf deine Lösung?

Gruß

Oleg
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von JanM »

Könnt ihr mir vielleicht ein Tipp geben wie man bei der 5 auf die Lösung kommt? Ich hab für \(\varphi (x) = exp(0.5 x^2)\) raus und dann müsste ich ja für \(\psi\) irgendwie \(\frac{x}{exp(0.5 x^2)}\) integrieren und das bekomm ich nicht hin. :(

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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von dosinfo »

dosinfo hat geschrieben:
_Peter_ hat geschrieben:Aufgabe 2
Hab folgende Eigenräume raus:
für den Eigenwert \(\lambda _{1}= \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\):

\(\left \{ t\begin{pmatrix}\frac{1 + \sqrt{5}} {2}\\ 1\end{pmatrix} \right \}\)

.......

Hab die Probe gemacht. Ist korrekt.

Wie kommst du denn auf deine Lösung?

Gruß

Oleg
Sorry, die Frage war überflüssig. Ich habe was übersehen, da kommt eine freie Variable ins Spiel. Es hat sich erledigt.
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von dosinfo »

JanM hat geschrieben:Könnt ihr mir vielleicht ein Tipp geben wie man bei der 5 auf die Lösung kommt? Ich hab für \(\varphi (x) = exp(0.5 x^2)\) raus und dann müsste ich ja für \(\psi\) irgendwie \(\frac{x}{exp(0.5 x^2)}\) integrieren und das bekomm ich nicht hin. :(
Hi,

1) klammere x auf der rechten seiten aus
2) dann die Gleichung durch y+1 teilen --> hast du 1/ y+1 * y' = x stehen
3) y' differential als dy/dx ausschreiben und die Gleichung mit dx multiplizieren
4) dann hast du unfefähr sowas stehen 1/y+1 *dy = x * dx --> also auf beiden seiten inegrieren und dabei die C1 Konstente nicht vergessen
5) um y aus ln|y+1| zu eliminieren, die Gleichung auf beiden Seiten exp() nehemen

Gruß

Oleg
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von dosinfo »

"Wichtig ist, dass man nicht aufhört zu fragen.
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von gregor »

jül hat geschrieben: Spezielle Lösung:
\(\psi(x) = \begin{pmatrix} -x \\ 2 \end{pmatrix}\)
wie kommt man auf die spezielle lösung?
das homogene ist klar.

tonti
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von tonti »

_Peter_ hat geschrieben:
jül hat geschrieben: Aufgabe 1:

Edit: Als schnittpunkt erhalte ich folglich:
(2/3, 1/3, -2/3)

Hi, wi kann man denn hier am schnellsten den Schnitt berechnen?

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