Lösung der alten Klausur

jül
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Lösung der alten Klausur

Beitrag von jül »

Hallo zusammen,

Wollte hier mal einen Thread starten, um die Lösungen der alten Klausur zu vergleichen, die auf der Vorlesungsseite verlinkt wurde.
Da es dafür ja keine Musterlösung gibt, könnte man hier die Lösungen vergleichen und bei Fragen dazu gegenseitig helfen.

Ich mach mal den Anfang...

Aufgabe 1:
HNF der Ebene ist

\(\vec{r} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{-1}{\sqrt{3}} \\ \frac{-1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} = 0\)


Der Schnittpunkt ist
\(S=(1,0,0)\)

EDIT: Ist quatsch, Peter hat recht (siehe unten)

Aufgabe 2:
(a) \(A^{-1} = \begin{pmatrix} 1 && 1 \\ 1 && 0 \end{pmatrix}\)
(b) Eigenwerte:
\(\lambda_{1} = \frac{-1+\sqrt{5}}{2}\)
\(\lambda_{2} = \frac{-1-\sqrt{5}}{2}\)

Ich häng allerdings bei den Eigenräumen/Eigenvektoren fest. Liegt vllt an den "komischen" Werten für die Eigenwerte :? . Kann da jemand helfen?


Aufgabe 3:
(a) Lokales Maximum bei \((-1, \frac{1}{2})\)

(b) Dem Plot nach ja ;)(Maximum aus (a) ist global). Aber wie begründet man das am besten in der Klausur?
Zuletzt geändert von jül am 29. Aug 2010 21:04, insgesamt 1-mal geändert.
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_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

jül hat geschrieben: Aufgabe 1:
HNF der Ebene ist

\(\vec{r} \cdot \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{-1}{\sqrt{3}} \\ \frac{-1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix}
- \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} \end{pmatrix} = 0\)
hab da

\(\vec{r} \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} \cdot \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ -1 \end{pmatrix} = \frac{1}{\sqrt{3}}\) raus,
weil d ist eigentlich der Abstand von Ursprung zur Ebene und somit kein Vektor sondern eine Strecke.

Edit: Als schnittpunkt erhalte ich folglich:
(2/3, 1/3, -2/3)

tobiwan
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von tobiwan »

jül hat geschrieben: Ich häng allerdings bei den Eigenräumen/Eigenvektoren fest. Liegt vllt an den "komischen" Werten für die Eigenwerte :? . Kann da jemand helfen?
Ich bekomme die gleichen Eigenwerte wie du raus.

\((A - \lambda I_n ) x = 0\) -> so ermittelst du doch die zu den Eigenwerten gehörenden Eigenvektoren, oder?

M.Scholz
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von M.Scholz »

_Peter_ hat geschrieben: Edit: Als schnittpunkt erhalte ich folglich:
(2/3, 1/3, -2/3)
Bekomm ich nach langem hin und her auch raus.

padde-f
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von padde-f »

Hey,
habt ihr bei der Aufgabe 3 a) auch folgende die Punkte raus?

(1/0.5/-1) indefinit
(-1/0.5/-5) negativ definit

Alex_s
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von Alex_s »

Jap, das haben wir auch raus.

_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

Aufgabe 2
Hab folgende Eigenräume raus:
für den Eigenwert \(\lambda _{1}= \frac{-1 + \sqrt{5}}{2}\):

\(\left \{ t\begin{pmatrix}\frac{1 + \sqrt{5}}{2}\\ 1\end{pmatrix} \right \}\)

und für \(\lambda _{2}= \frac{-1 - \sqrt{5}}{2}\):

\(\left \{ t\begin{pmatrix}\frac{1 - \sqrt{5}}{2}\\ 1\end{pmatrix} \right \}\)

Hab die Probe gemacht. Ist korrekt.

_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

Bei Aufgabe 3.

a)
Sattelpunkt bei (x, y) = \(\left ( 1, \frac{1}{2} \right )\)
lokales Maximum bei (x, y) = \(\left ( -1, \frac{1}{2} \right )\)


b)
Globales Maximum:
Laut Definition, liegt ein globales Maximum in \((a, b)\) dann vor, wenn
\(\forall ( x, y ) \in D: f( x,y ) \leq f( a,b )\)

Da aber \(\lim_{x \to \infty }f(x, 1) = \infty\) gilt und es somit für jeden Funktionswert einen Wert gibt, der größer ist als dieser, besitzt \(f(x,y)\) kein globales Maximum.

Globales Minimum:
Laut Definition, liegt ein globales Minimum in \((a, b)\) dann vor, wenn
\(\forall ( x, y ) \in D: f( x,y ) \geq f( a,b )\)

Da aber \(\lim_{y \to \infty }f(1, y) = -\infty\) gilt und es somit für jeden Funktionswert einen Wert gibt, der kleiner ist als dieser, besitzt \(f(x,y)\) kein globales Minimum.

Daraus folgt, dass \(f(x,y)\) keine globalen Extrema besitzt.

---
Keine Garantie auf die Lösung, aber ich war beim Assistenten (Pavol) und er hat mir bei dieser Sache zugestimmt.
Zuletzt geändert von _Peter_ am 26. Aug 2010 16:47, insgesamt 4-mal geändert.

_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

Aufgabe 4:

Da hab ich die beiden Lösungen \(L_{1} = (-\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\sqrt{3})\) und \(L_{1} = (-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\sqrt{3})\) raus.

Wie ich jetzt die Art der Extrema bestimme weiß ich nicht.
Die Funktionswerte von beiden in f sind jedenfalls identisch und mit dem Satz von Weierstraß kann ich dann auch keine konkrete Aussage treffen.
Greetz.

padde-f
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von padde-f »

jap hab bei der Aufgabe 4 die gleichen Werte raus !
Plotte dir mal die Funktion aus Aufgabe 3, es müsste eigentlich +0,5 sein und nicht -0,5

Habt einer bei der Aufgabe 5 auch y= e^(0,5x^2) -1 raus ?

_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

padde-f hat geschrieben:jap hab bei der Aufgabe 4 die gleichen Werte raus !
Plotte dir mal die Funktion aus Aufgabe 3, es müsste eigentlich +0,5 sein und nicht -0,5

Habt einer bei der Aufgabe 5 auch y= e^(0,5x^2) -1 raus ?
Ah, danke hatte \(f_{y}(x,y) = -\frac{1}{y^{2}} - 8y\) als Ableitung, müsste aber \(f_{y}(x,y) = \frac{1}{y^{2}} - 8y\) sein ;)

Ich pass mal mein Ergebnis oben an^^.

Bei der 5 hab ich die allgemeine Lösung (Nach Skript):

\(\frac{c \cdot e^{\frac{1}{2}x^{2}} + e^{\frac{1}{2}x^{2}}}{e^{\frac{1}{2}x_{0}^{2}}}-1\)

(Deine entspricht meiner wenn man für \(y(x_{0}) = c\) die Werte \(x_{0} = 0\) und \(c = 0\) als Anfangswert vorgibt)

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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von jül »

_Peter_ hat geschrieben: Keine Garantie auf die Lösung, aber ich war beim Assistenten (Pavol) und er hat mir bei dieser Sache zugestimmt.
Gilt das auch für die Begründung bei der b) - das war ja ursprünglich auch meine Frage, wie man das mathematisch begründen soll?
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von jül »

Zur Aufgabe 4:
Ich hab zunächst 4 "kritische Punkte" bestimmt, die als Extrema in Frage kommen:

(1,0), (-1,0), (-0.5, sqrt(3/4)), (-0,5, -sqrt(3/4))

Die 4 Punkte kommen daher, dass ich bei der zweiten Lagrange-Gleichung (-2y = lambda * 2y) eine Fallunterscheidung gemacht hab, je nachdem ob y gleich 0 ist oder nicht.

Dann alle 4 Punkte in f eingesetzt und Maximum/Minimum an den Funktionswerten abgelesen. Dann kommt dabei raus
- 2 Minima bei (-0.5, sqrt(3/4)), (-0,5, -sqrt(3/4)) (-> gleicher Funktionswert an diesen Stellen)
- Maximum bei (1,0)
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

jül hat geschrieben:
_Peter_ hat geschrieben: Keine Garantie auf die Lösung, aber ich war beim Assistenten (Pavol) und er hat mir bei dieser Sache zugestimmt.
Gilt das auch für die Begründung bei der b) - das war ja ursprünglich auch meine Frage, wie man das mathematisch begründen soll?
Es ging um die Begründung der b) :wink:

_Peter_
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Re: Lösung der alten Klausur

Beitrag von _Peter_ »

jül hat geschrieben:Die 4 Punkte kommen daher, dass ich bei der zweiten Lagrange-Gleichung (-2y = lambda * 2y) eine Fallunterscheidung gemacht hab, je nachdem ob y gleich 0 ist oder nicht.
Wusste nicht, dass man das an dieser Stelle kann, hatte nur lambda bestimmt.
Gibt's das irgendwo in einer Musterlösung? Wolframalpha gibt dir in der hinsicht nämlich recht ;-)

Greetz.

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