DGLS mit konstanten Koeffizienten

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John
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DGLS mit konstanten Koeffizienten

Beitrag von John »

Im Skript werden zwei Lösungen zum Beispiel IX.5.4 (IX.4.4 in der älteren Version) genannt:

\(\varphi_1(t) = \begin{pmatrix}cos(t) + i \ sin(t) \\ sin(t) - i \ cos(t) \end{pmatrix}\) und \(\varphi_2(t) = \begin{pmatrix}cos(t) - i \ sin(t) \\ sin(t) + i \ cos(t) \end{pmatrix}\)

Dann werden daraus die zwei reellen Lösungen
\(y_1(t) = \begin{pmatrix}cos(t) \\ sin(t) \end{pmatrix}\) und \(y_2(t) = \begin{pmatrix}- \ sin(t) \\ cos(t) \end{pmatrix}\) "abgelesen".

Kann mir jemand sagen, wieso der imaginäre Teil der ersten Lösung und der reelle Teil der zweiten Lösung einfach "weggelassen" werden können, und wieso es sich dann immer noch um eine Lösung des DGLS handelt?
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_Peter_
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Re: DGLS mit konstanten Koeffizienten

Beitrag von _Peter_ »

genau die gleiche Frage hab ich mir vorhin auch gestellt.
Wäre auch über eine Aufklärung in dieser Hinsicht dankbar.

Grüße.

_Peter_
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Re: DGLS mit konstanten Koeffizienten

Beitrag von _Peter_ »

Hab jetzt mal den Ansatz aus Übung 12 H41 verfolgt. (unten der Tipp).
Hab das gleiche Ergebnis für das Beispiel im Skript raus, aber der Rechenaufwand ist sehr hoch.

Ich frag mich ob das wirklich nur ein einfaches ablesen ist^^

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John
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Re: DGLS mit konstanten Koeffizienten

Beitrag von John »

Aha, wenn ich mir die H41 so anschaue, wird es mir doch klar: Wenn man intuitiv die Linearkombinationen bildet, mit denen der komplexe Teil verschwindet, wären das für mich \({1 \over 2} \varphi_1 + {1 \over 2} \varphi_2\) und \({1 \over 2} i \varphi_1 - {1 \over 2} i \varphi_2\). Rechnerisch wahrscheinlich nen bisschen Schreibaufwand, aber immerhin ist mir jetzt klar dass einfach eine Linearkombination gebastelt wurde..
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igor.a
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Re: DGLS mit konstanten Koeffizienten

Beitrag von igor.a »

Die eine Lösung ist doch die andere Konjugiert: Man addiert einfach die beiden und dabei verschwindet der imaginäre Teil, dann kann man durch 2 teilen und das Ergebnis ist dann eine reelle Lösung (weil die Lösungen von homogenen linearen Systemen unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen sind).
Um den imaginären Teil zu "extrahieren" zieht man eine Lösung von der anderen ab - analog.

_Peter_
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Re: DGLS mit konstanten Koeffizienten

Beitrag von _Peter_ »

igor.a hat geschrieben:Die eine Lösung ist doch die andere Konjugiert: Man addiert einfach die beiden und dabei verschwindet der imaginäre Teil, dann kann man durch 2 teilen und das Ergebnis ist dann eine reelle Lösung (weil die Lösungen von homogenen linearen Systemen unter Addition und Skalarmultiplikation abgeschlossen sind).
Um den imaginären Teil zu "extrahieren" zieht man eine Lösung von der anderen ab - analog.
Ok, das mit der unter linearkombination abgeschlossen ist natürlich ne nützliche Sache.

Ich hab mir das jetzt so vorgestellt:

\(c_{1}\begin{pmatrix}
cos\ t\ +\ i\ sin\ t\\sin\ t\ -\ i\ cos\ t
\end{pmatrix}
+c_{2}\begin{pmatrix}
cos\ t\ -\ i\ sin\ t\\sin\ t\ +\ i\ cos\ t
\end{pmatrix}=c_{3}\begin{pmatrix}
cos\ t\\sin\ t\
\end{pmatrix}+
i\cdot c_{4}\begin{pmatrix}
-sin\ t\\\ cos\ t\
\end{pmatrix}\)


und dann könnt ich noch \(\widetilde{c}_{4}=i\cdot c_{4}\) machen und das \(c_{4}\) quasi ersetzen.

klingt logisch.

Andreas P.
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Re: DGLS mit konstanten Koeffizienten

Beitrag von Andreas P. »

_Peter_ hat geschrieben: Ok, das mit der unter linearkombination abgeschlossen ist natürlich ne nützliche Sache.

Ich hab mir das jetzt so vorgestellt:

\(c_{1}\begin{pmatrix}
cos\ t\ +\ i\ sin\ t\\sin\ t\ -\ i\ cos\ t
\end{pmatrix}
+c_{2}\begin{pmatrix}
cos\ t\ -\ i\ sin\ t\\sin\ t\ +\ i\ cos\ t
\end{pmatrix}=c_{3}\begin{pmatrix}
cos\ t\\sin\ t\
\end{pmatrix}+
i\cdot c_{4}\begin{pmatrix}
-sin\ t\\\ cos\ t\
\end{pmatrix}\)


und dann könnt ich noch \(\widetilde{c}_{4}=i\cdot c_{4}\) machen und das \(c_{4}\) quasi ersetzen.

klingt logisch.
Ja ok, das klingt zwar zunächst logisch, nur frag ich mich, warum ich den Imaginärteil von y2 nehme und nicht von y1... !!!
Wäre super wenn jemand dafür ne logische Erklärung hätte.

mfG!

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John
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Re: DGLS mit konstanten Koeffizienten

Beitrag von John »

Der Imaginärteil wird von beiden Lösungen gleichermaßen "beachtet". Wenn man die Konstanten aber passend wählt, kann man das ganze als Linearkombination von rein reellen Teilen darstellen, indem man einfach den imaginären Teil in die Konstanten "schiebt". Vielleicht wird das klarer, wenn die beiden Zwischenschritte, die _Peter_ gemacht hat, noch dazugeschrieben werden:

\(c_{1}\begin{pmatrix}
cos\ t\ +\ i\ sin\ t\\sin\ t\ -\ i\ cos\ t
\end{pmatrix}
+c_{2}\begin{pmatrix}
cos\ t\ -\ i\ sin\ t \\
sin\ t\ +\ i\ cos\ t \\
\end{pmatrix}\)


\(= \begin{pmatrix}
(c_1+c_2)cos\ t + (c_1 - c_2) i\ sin\ t \\
(c_1+c_2)sin\ t + (c_2 - c_1) i\ cos\ t \\
\end{pmatrix}\)


\(= (c_1+c_2)\begin{pmatrix}
cos\ t \\
sin\ t
\end{pmatrix}
+
i\ (c_2 - c_1)\ \begin{pmatrix}
-sin\ t \\
cos\ t \\
\end{pmatrix}\)


\(= c_{3}\begin{pmatrix}
cos\ t\\sin\ t\
\end{pmatrix}+
i\cdot c_{4}\begin{pmatrix}
-sin\ t\\\ cos\ t\
\end{pmatrix}\)


Das \(i\ \cdot c_4\) wird dann in einer neuen Konstante zusammengefasst.
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Andreas P.
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Re: DGLS mit konstanten Koeffizienten

Beitrag von Andreas P. »

John!, you made my day, thanks a lot!

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