[gelöst]Frage zu G42

[glowhand]

http://www.myimg.de/?img=dlg410e6.png

Warum steckt in der allgemeinen Lösung das ...+c_2*x+...?
Sowie ich das verstanden habe, addiert man für jedes Lambda ...+c_i*e^(lambda_i*x).
Nun ist sowohl lambda_1 als auch lambda_2 = 0, also würde sich e^(0*x) doch zu 1 auslösen, also im Endeffekt zu c_2 statt c_2*x?
Da man c_1:=c_1+c_2 umdefinieren könnte, wäre meines Erachtens die allgemeine Lösung:


Wo liegt denn mein Fehler?

Lg,
Christian..

[glowhand]

Habe es verstanden. Bei identischen Lambda wird dann immer beim 2. noch die abhängige Variable dazu multipliziert.

[f_weber]

Freut mich das Du das verstanden hast. Allerdings kann ich den darauf folgenden Schritt nicht nachvollziehen, also wie man auf "den Ansatz vom Typ der rechten Seite" kommt.
Hat dazu vlt. noch Jmd. eine Idee?!

Vielen Dank bereits im Voraus
flo

[igor.a]

Ich glaube der Summand ax^2 in y_n soll die Lösung des Teilproblems sein, bei dem die rechte Seite, also das Störglied 1 ist.
Man kann nämlich das Problem, bei dem die rechte Seite 1 + cos(2x) ist, lösen, indem man das gleiche Problem löst - aber einmal mit der rechten Seite 1 und einmal mit der rechten Seite cos(2x) und dann die Lösungen einfach addieren.

So würde auch b*cos(2x) in der Musterlösung Sinn machen, das c*sin(-2x) ist mir aber auch nicht ganz klar.

[Andreas T.]

Ich verstehe momentan noch nicht einmal, wie du dort weiter rechnest. Könntest du das mal ausführen? Wäre mir eine große Hilfe.

Edit:
Glaube ich habe zumindest verstanden, was man machen muss. Ist auf der letzten Seite vom Skript beschrieben.
Zunächst wird die Störfunktion in \(b_1(x)=1\) und \(b_2(x)=cos(2x)\) "gesplittet".
\(b_1:\)
\(p(x)=1, \alpha=0, \beta=0\)
\(\alpha + i\cdot \beta = 0 \Rightarrow k=2\) (ist Nullstelle)
\(y_2(x)=a\cdot x^2\)

\(b_2:\)
\(p(x)=1, \alpha=0, \beta=2\)
\(\alpha + i\cdot \beta = 2i \Rightarrow k=0\) (ist keine Nullstelle)
\(y_2(x)=b\cdot cos(2x)+c\cdot sin(2x)\)

Wegen \(y_n(x)=y_1(x)+y_2(x)\) gilt also:
\(y_n(x)=a\cdot x^2+b\cdot cos(2x)+c\cdot sin(2x)\)

Das ist jetzt meine Theorie, kann auch totaler Blödsinn sein. Jedenfalls stimmt auch das Vorzeichen im Sinus noch nicht.

Edit 2: Bei der G43 wird ja das gleiche gemacht, dort bekomme ich
\(y^*(x)=(a_1+a_2x)xe^{-x}+b_1\cdot cosx+b_2\cdot sinx\) und nicht
\(y^*(x)=(a_1+a_2x)xe^{-x}+x\cdot (b_1\cdot cosx+b_2\cdot sinx)\)

[Andreas P.]

Ok das klingt sehr logisch, kann mir aber jemand erklären wo der Unterschied zwischen IX.6.7 und IX.6.9 ist? 6.9 ist doch "nur" ne Erweiterung von 6.7 oder? Vorallem bei b1 = 1 frag ich mich warum ich da net IX.6.7 benutzen soll sondern IX.6.9 ?

mfG

[tonti]

Glaube ich habe zumindest verstanden, was man machen muss. Ist auf der letzten Seite vom Skript beschrieben.
Zunächst wird die Störfunktion in \(b_1(x)=1\) und \(b_2(x)=cos(2x)\) "gesplittet".
\(b_1:\)
\(p(x)=1, \alpha=0, \beta=0\)
\(\alpha + i\cdot \beta = 0 \Rightarrow k=2\) (ist Nullstelle)
\(y_2(x)=a\cdot x^2\)

hi,
wie kommst du auf k=2, bzw. wie weiss ich, dass es sich hier um eine zweifache Nullstelle handelt??

[Andreas P.]

hi,
wie kommst du auf k=2, bzw. wie weiss ich, dass es sich hier um eine zweifache Nullstelle handelt??

Also die Nullstellen tust du ja herausfinden, indem du erstmal die homogene Lösung betrachtest / bestimmst. Ist dann ein lambda einen doppelte NS, so folgt k=2.

mfG

[_Peter_]

Glaube ich habe zumindest verstanden, was man machen muss. Ist auf der letzten Seite vom Skript beschrieben.
Zunächst wird die Störfunktion in \(b_1(x)=1\) und \(b_2(x)=cos(2x)\) "gesplittet".
\(b_1:\)
\(p(x)=1, \alpha=0, \beta=0\)
\(\alpha + i\cdot \beta = 0 \Rightarrow k=2\) (ist Nullstelle)
\(y_2(x)=a\cdot x^2\)

\(b_2:\)
\(p(x)=1, \alpha=0, \beta=2\)
\(\alpha + i\cdot \beta = 2i \Rightarrow k=0\) (ist keine Nullstelle)
\(y_2(x)=b\cdot cos(2x)+c\cdot sin(2x)\)

Wegen \(y_n(x)=y_1(x)+y_2(x)\) gilt also:
\(y_n(x)=a\cdot x^2+b\cdot cos(2x)+c\cdot sin(2x)\)

Der Ansatz mit dem splitten ist korrekt. War vorhin bei Pavol und da haben wir uns das ganze sehr schön hergeleitet

Ich hab jetzt auch gesplittet wie du, aber noch wie in Beispiel IX.6.10 den Koeffizientenvergleich verwendet um die Lösung zu bestimmen (In der Mulö steht ja nur ein Ansatz und nicht die Lösung):

mit \(b_{1}=1\) und \(b_{2}=cos(2x)\) erhalte ich jeweils:
\(y_{1}(x)=-\frac{1}{8}x^{2}\)
\(y_{2}(x)=\frac{1}{32}cos(2x)\)

und somit \(y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{32}cos(2x)\)

Die allgemeine Lösung lautet dann:
\(L_{I}=c_{1}+c_{2}x + c_{3}e^{2x}+c_{4}e^{-2x}-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{32}cos(2x)\)

[boss]

Der Ansatz mit dem splitten ist korrekt. War vorhin bei Pavol und da haben wir uns das ganze sehr schön hergeleitet

Ich hab jetzt auch gesplittet wie du, aber noch wie in Beispiel IX.6.10 den Koeffizientenvergleich verwendet um die Lösung zu bestimmen (In der Mulö steht ja nur ein Ansatz und nicht die Lösung):

mit \(b_{1}=1\) und \(b_{2}=cos(2x)\) erhalte ich jeweils:
\(y_{1}(x)=-\frac{1}{8}x^{2}\)
\(y_{2}(x)=\frac{1}{32}cos(2x)\)

und somit \(y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{32}cos(2x)\)

Die allgemeine Lösung lautet dann:
\(L_{I}=c_{1}+c_{2}x + c_{3}e^{2x}+c_{4}e^{-2x}-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{32}cos(2x)\)

Hallo, wie genau berechnet ihr denn den Teil der Störfkt. g(x) = 1

[_Peter_]

Satz

Hallo, wie genau berechnet ihr denn den Teil der Störfkt. g(x) = 1

Nach Satz IX.6.9

\(\alpha = 0, \ \beta = 0, \ p(x)= 1\)

damit ist dann
\(b(x)=1\)

[rushhour]

Glaube ich habe zumindest verstanden, was man machen muss. Ist auf der letzten Seite vom Skript beschrieben.
Zunächst wird die Störfunktion in \(b_1(x)=1\) und \(b_2(x)=cos(2x)\) "gesplittet".
\(b_1:\)
\(p(x)=1, \alpha=0, \beta=0\)
\(\alpha + i\cdot \beta = 0 \Rightarrow k=2\) (ist Nullstelle)
\(y_2(x)=a\cdot x^2\)

\(b_2:\)
\(p(x)=1, \alpha=0, \beta=2\)
\(\alpha + i\cdot \beta = 2i \Rightarrow k=0\) (ist keine Nullstelle)
\(y_2(x)=b\cdot cos(2x)+c\cdot sin(2x)\)

Wegen \(y_n(x)=y_1(x)+y_2(x)\) gilt also:
\(y_n(x)=a\cdot x^2+b\cdot cos(2x)+c\cdot sin(2x)\)

Der Ansatz mit dem splitten ist korrekt. War vorhin bei Pavol und da haben wir uns das ganze sehr schön hergeleitet

Ich hab jetzt auch gesplittet wie du, aber noch wie in Beispiel IX.6.10 den Koeffizientenvergleich verwendet um die Lösung zu bestimmen (In der Mulö steht ja nur ein Ansatz und nicht die Lösung):

mit \(b_{1}=1\) und \(b_{2}=cos(2x)\) erhalte ich jeweils:
\(y_{1}(x)=-\frac{1}{8}x^{2}\)
\(y_{2}(x)=\frac{1}{32}cos(2x)\)

und somit \(y(x)=y_{1}(x)+y_{2}(x)=-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{32}cos(2x)\)

Die allgemeine Lösung lautet dann:
\(L_{I}=c_{1}+c_{2}x + c_{3}e^{2x}+c_{4}e^{-2x}-\frac{1}{8}x^{2}+\frac{1}{32}cos(2x)\)

Hallo Peter,
wie kommst du auf y2(x)=1/32cos(2x)??
wir haben doch in diesem Fall beta=2 und damit ==> y(x)=cos(2x)A0+sin(2x)B0 ?
davon dann die 4 Ableitungen, usw.

[JanM]

Mittels Koeffizienten vergleich:
Man bekommt dann ja y'' = -4 A0 cos(2x) - 4 B0 sin(2x) und y'''' = 16 A0 cos(2x) + 16 B0 sin(2x).
wenn man das in die DGL einsetzt und für b = cos(2x) weil wir ja nur diesen Fall betrachten erhält man:
\(y'''' - 4 y'' =b(x) <=> 16 A_0 cos(2x) + 16 B_0 sin(2x) - 4 ( -4 A_0 cos(2x) - 4 B_0 sin(2x)) = cos(2x) <=> 32 A_0 cos(2x) + 32 B_0 sin(2x) = cos(2x)\). Damit ergibt sich mit Koeffizientenvergleich A0=1/32 und B0=0, da sin(2x) auf der rechten Seite nicht vorkommt. Wenn man diese Koeffizienten wieder in y2 einsetzt erhält man y2 = 1/32 cos(2x) + 0 sin(2x) = 1/32 cos(2x)

[rushhour]

Vielen Dank!