G13: Basistransformation

Osterlaus
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G13: Basistransformation

Beitrag von Osterlaus »

Bei der G13 habe ich komplett keinen Plan, wie das gerechnet werden soll. Aus der Musterlösung heraus wird ja nur auf Abschnitt VII.5 im Skript verwiesen, aber wie kommt man nur mit den paar Zeilen darauf? Dass es sich eigentlich um eine Drehmatrix handelt, ist klar - aber wie ist die Aufgabe ohne diese Info lösbar?

pigbird
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Re: G13: Basistransformation

Beitrag von pigbird »

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stell dir vor, das rote System wurde vom schwarzen 45 grad gedreht. Die Basisvektoren vom schwarzen seien OA, OB (schwarz), sind durch die Drehung transformiert zu OA, OB (rot). Wichtig ist, die Länge von Basisvektoren OA, OB ist 1. D.h OA, OB (rot) im neuen System haben Koordinaten (0, 1) (1, 0). Daraus kann man die Koordinaten für OA, OB (rot) im Bezug auf das alte System (schwarz) berechnen. \(A = ( - \frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}}), B = ( \frac{2}{\sqrt{2}}, \frac{2}{\sqrt{2}})\)

Nach dem Schritt sind die Matrixen S und T mit Spalten von Basisvektoren zu bestimmen, also OA, OB (rot) mit Koordinaten im Bezug aufs schwarze.

PS: Ich habe es mit 45 grad gemalt, also gegen Uhrzeigersinn, -45 grad ist nach Uhrzeigersinn, macht aber nicht so großen Unterschied.Ich hoffe, es kann dir weiter helfen.

tobiwan
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Re: G13: Basistransformation

Beitrag von tobiwan »

Abschnitt VII.5 spricht zunächst erstmal von einer linearen Abbildung f : \(\mathbb{K}^n \to \mathbb{K}^m\) .

In Aufgabe G13 haben wir die Abbildungsmatrix A bereits gegeben. Nun wollen wir den ganzen Schmodder um \(\pi / 4\) drehen. Also brauchen wir schonmal die Drehmatrix: \(\begin{pmatrix}
cos (\alpha) & -sin(\alpha) \\
sin(\alpha) & cos(\alpha)
\end{pmatrix}\)


Weiterhin werden im Skript zwei Basen definiert:
Sei \(u_1, ... , u_n\) eine beliebige Basis von \(\mathbb{K}^n\) und sei \(v_1, ... , v_m\) eine Beliebige Basis von \(\mathbb{K}^m\)
Die Basisvektoren von \(\mathbb{K}^n\) sind in der Matrix S drin und die Basisvektoren von \(\mathbb{K}^m\) sind in der Matrix T drin.

Ferner erhalten wir eine Darstellung von f bzgl der Basen S und T durch die Matrix \(T^{-1}AS\)

Nun wollen wir ja eine Darstellung von f bzgl einer neuen Basis berechnen: Nämlich die um \(\pi / 4\) gedrehte.

Also müssen wir erstmal die Basen mit der Drehmatrix multiplizieren, bevor wir die neue Darstellungsmatrix berechnen können.
Da in der Aufgabe keine Basen angegeben wurden, gehen wir einfach von der Standardbasis aus.
Aus der Darstellungsmatrix ist ersichtlich, dass die Dimension 2 ist, also ist unsere Basis \(\begin{pmatrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \end{pmatrix}\)


Also haben wir für unsere Transformierte Basis jetzt
T = \(\begin{pmatrix}
cos (\pi / 4) & -sin(\pi / 4) \\
sin(\pi / 4) & cos(\pi / 4)
\end{pmatrix}\)

und das gleiche für S.
(Bemerkung: \(cos(\frac{\pi}{4})\) sowie \(sin(\frac{\pi}{4})\) ergeben \(\frac{1}{\sqrt{2}}\). Um die Wurzel aus dem Nenner zu kloppen, wurde mit \(\sqrt{2}\) erweitert und man erhält \(\frac{\sqrt{2}}{2}\))

Jetzt müssen wir nur noch T invertieren und die Matrizen miteinander multiplizieren, um das Ergebnis zu erhalten.

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