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globale vs. lokale Extrema

Verfasst: 2. Mär 2010 20:15
von tzeenie
Eine Frage zum Thema globale/lokale Extrema mehrstelliger Funktionen:
Wenn in der Aufgabenstellung explizit erwähnt ist, dass man überprüfen soll, ob lokale Extrema auch globale sind, wie geht man i.A. da vor? Bei einem geschlossenen Intervall könnte man ja die Funktionswerte an den Intervallrändern betrachten, aber wie macht man das bspw. bei \(\mathbb{R}^2\) als Definitionsbereich?

Gruß

Re: globale vs. lokale Extrema

Verfasst: 2. Mär 2010 22:21
von bruse
Man betrachtet die Grenzen des Definitionsbereiches. Bei einem Rechteck zum Beispiel die Intervalle, welche die Ränder darstellen, in höheren Dimensionen dann die Hyperflächen der Ränder (und deren Ränder usw). Wenn der Definitionsbereich häßlich berandet ist ist das Problem auch hässlich. Wenn es keinen Rand gibt (z.B. bei offenen Definitionsbereichen) braucht man ihn natürlich auch nicht zu betrachten, aber eine Grenzwertbetrachtung hilft dann zu bestimmen, ob die Funktion vielleicht unbeschränkt ist...

Re: globale vs. lokale Extrema

Verfasst: 3. Mär 2010 09:15
von tzeenie
Ok, danke erst mal! Deine Antwort entspricht soweit meiner Intuition, *freu*. ;) Aber wie prüfe ich Funktionsgrenzwerte bei mehrstelligen Funktionen, theoretisch müsste ich ja alle Kombinationen für alle Parameter gegen \(\pm \infty\) testen? Bei zwei Variablen geht's ja noch, und ich kann ja auch aufhören, sobald meine lokalen Extrema unter- bzw. überlaufen wurden, aber angenommen man hätte n Dimensionen? Muß ich dann 2^n Kombinationen für den Grenzwert testen?

Re: globale vs. lokale Extrema

Verfasst: 10. Mär 2010 07:30
von cdn
tzeenie hat geschrieben:Aber wie prüfe ich Funktionsgrenzwerte bei mehrstelligen Funktionen, theoretisch müsste ich ja alle Kombinationen für alle Parameter gegen \(\pm \infty\) testen?
Nur die Kombinationen für \(\pm \infty\) zu testen wird nicht ganz reichen, auch für den Fall n=2. Schließlich kann es ja sein, dass eine Funktion in den Diagonalen konstant bleibt, aber beispielsweise für x=0 und y gegen \(\pm \infty\) selbst ins Unendliche wächst.
Als Beispiel würde ich spontan \(f(x,y) = x^2 - y^2\) anführen. Du musst also einen Richtungsgrenzwert bestimmen. Da es prinzipiell unendlich viele Richtungen gibt (Anzahl der Geraden durch den Nullpunkt), ist das ganze zumindest mit den Mitteln aus Mathe 2 ein schwieriges Unterfangen. In der Klausur wird es deshalb wohl immer so laufen, dass du entweder schon abschätzen kannst, dass ein lokales Extremum ein globales ist (bspw: für \(x^2 + y^2\) ist wohl (0, 0) auch ein globales Minimum), oder ein globales Extremum auf den Richtungen der Koordinatenachsen oder den Diagonalen finden wirst. Das sind zumindest meine Erfahrungen.

Re: globale vs. lokale Extrema

Verfasst: 10. Mär 2010 10:31
von bruse
Es gibt auch Tricks um beispielsweise einen unbeschränkten Funktionswert Richtung unendlich auszuschließen. Man schaut sich zum Beispiel die Werte der Funktion auf einer Kreisscheibe vom Radius R um die Null an und lässt dann R gegen unendlich gehen. Mitunter kommen dann da schon sinnvollen Sachen bei raus. Sowas erfordert aber eine gewisse mathematische Intuition (man muss halt drauf kommen und dann zeigen dass es korrekt ist, so vorzugehen) und wird wohl eher nicht vorausgesetzt.

Re: globale vs. lokale Extrema

Verfasst: 10. Mär 2010 21:00
von tzeenie
Ok, danke für Eure Antworten! Geh auch einfach mal davon aus, dass es ein einfacher Fall sein wird oder in dieser Form gar nicht in der Klausur drankommt. :)