Übung 02 - H5

[tonti]

kann mir bitte jemand auf die Sprünge helfen, wie man denn auf die Zahlen aus der MuLö. kommt?
hat sich bereits von selbst geklärt

[dietrich_p]

Ich würde mich freuen, wenn hier noch einmal gezeigt werden würde, wie es funktioniert. Ich verstehe zwar, wie man auf die Basis {(1;0),(0,5;sqrt(3/2))} kommt, aber wie kommt man dann auf die Koordinaten {(1;0), (0;0), (0;1)}? Das ist doch garkein gleichseitiges Dreieck mehr, da zwei Seiten die Länge 1 und eine Seite [von (1,0) nach (0,1)] die Länge sqrt(2) hat...

Wer kann hier helfen?

[m_stoica]

Das Sechseck besteht aus sechs gleichseitige Dreiecke...

[dietrich_p]

Soweit klar. Aber ich verstehe nicht, wie man auf die Eckkoordinaten des gleichseitigen Dreiecks kommt. Zumal es doch garnicht gleichseitig ist. Wenn man die Koordinaten in ein Koordinatensystem einzeichnet sieht man, dass zwei Seiten die Länge 1 haben und eine Seite die Länge Wurzel 2 hat. Siehe meinen ersten Post.

[michi]

Mach dir deutlich, wie die Koordinaten eines Punktes bezüglich einer beliebigen Basis (nicht der Standardbasis) aussehen.

Wenn du dir das Ergebnis in ein Koordinatensystem einzeichnen willst, dann starte mit der Standardbasis (deinem Koordinatensystem), dann zeichne die berechneten Vektoren a und b ein. Jetzt kannst du deine Eckpunkte einzeichnen. Den ersten Punkt bei (0,0), den zweiten Punkt bei (1,0), also den Vektor a für die Länge 1 lang, und den dritten Punkt bei (0,1), also den Vektor b für die Länge 1 lang.

[dietrich_p]

hmmm, aber wenn diese Koordinaten verwendest, ergeben sich doch folgende Seitenlängen:

(0,0)-(1,0) => Länge: 1
(0,0)-(0,1) => Länge: 1
(0,1)-(1,0) => Länge: sqrt(2)

Da nicht alle Seiten gleich lang sind, ist das doch garkein gleichseitiges Dreieck!

Außerdem lautet der Vektor b in der Musterlösung doch (0,5; sqrt(3)/2). Wie kommt man da auf die den Punkt (0,1)?

Ich versteh es leider immer noch nicht...

[robert.n]

@dietrich_p:
Du verwendest in der Aufgabe ja eine andere Basis als die Standardbasis.

Bei der Standardbasis (Koordinateneinheitsvektoren) kommst du auf das Ergebnis, das du zurecht bemängelst (denn es wäre kein gleichseitiges Dreieck etc...). Mit einer anderen Basis musst du jede Vektorkomponente erst mit der jeweiligen Basis multiplizieren (die erste Vektorkomponente (Skalar) mit der ersten Basis (Vektor), die zweite (Skalar) mit der zweiten Basis (Vektor) usw. => Linearkombination der Basen).

Beispiel:
Vektor a = (3,3,3) kann dargestellt werden als (3,3,3) mit der Standardbasis ((1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)) oder als (2,2,2) mit den Basen (1.5,0,0), (0,1.5,0), (0,0,1.5) [denn 1.5*2 = 3]. Natürlich sind unendlich viele weitere Basen denkbar.

Mach dir klar, dass jedes Element des jeweiligen Vektorraums als Linearkombination der verwendeten Basen "erreichbar" sein muss. Das ist der Zweck der Basen.
Beispiel: Angenommen du hast die Basen b1 = (2,0,0), b2 = (0,2,0) und b3 = (0,0,2) und den Vektor v = (1,1,1). Dann wird der Vektor v von den Basen "abgebildet" auf v1 * b1 + v2 * b2 + v3 * b3 (die Komponenten des Vektors werden also zur Linearkombination der Basen verwendet, um auf den eigentlichen Vektor zu kommen).

Das ist für mich auch noch ein bisschen verwirrend, aber ich hoffe ich habe das wesentliche rübergebracht - und natürlich, dass es nicht totaler Käse war.