Modelle bestimmter Länge / unendlich

eintopf
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Modelle bestimmter Länge / unendlich

Beitrag von eintopf » 30. Aug 2011 15:10

Hallo,

leider bin ich bezüglich dem ganzen Modellkram in FO noch etwas verwirrt.

Also ein Modell ist ja eine S-Struktur, also M = (Trägermenge, Konstanten 1, ..., Konstante n, Funktion 1, ... Funkt. n, Relation 1, ..., Rel. n }
Wobei Konstanten, Funktionen und Relationen dann von einer Modellzugehörigen Interpretation interpretiert werden :mrgreen:

Soweit richtig?

Nun tauchen in alten Klausuren (z.B. SS06, Aufgabe 2(i) ) Begriffe auf wie "dreielementiges Modell".

Was kann ich mir darunter vorstellen? Vlt. M = (T, E^M, f^M), wobei E Relation und f Funktion? Das Teil hätte ja quasi drei Elemente.
Oder bezieht man sich hier auf die Anzahl der Elemente in den Relationen, oder der Trägermenge?

Wenn ich mit der Annahme richtig liege, dann müsste ein unendliches Modell unendlich viele Relationen und / oder Funktionen haben, aber das kommt mir seltsam vor.

Kann irgendwer diese Begriffe etwas klar definieren? Wäre sehr dankbar!

Viele Grüße!

ez22
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Re: Modelle bestimmter Länge / unendlich

Beitrag von ez22 » 30. Aug 2011 17:43

ich würde sagen, dass die Elemente der Trägermenge gemeint sind.

fscheepy
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Re: Modelle bestimmter Länge / unendlich

Beitrag von fscheepy » 31. Aug 2011 13:52

ez22 hat geschrieben:ich würde sagen, dass die Elemente der Trägermenge gemeint sind.
Davon gehe ich auch aus, aber in der Klausur WS05/06 geht es um ein Modell mit möglichst wenigen Elementen. Hängt das hier nicht von der Interpretation der Symbole ab, wie viele Elemente man braucht? Kann jemand mal erklären, wie man eine solche Aufgabe angeht? Oder wie man zeigt, ob es ein endliches/unendliches/bliebig großes Modell gibt?

eintopf
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Re: Modelle bestimmter Länge / unendlich

Beitrag von eintopf » 31. Aug 2011 14:02

Meine Lösungen diesbezüglich (WS05/06)

2) b)
i) Ich würde sagen T = {c} und R = {(c,c)}, dann ist die Formel in dem Modell erfüllend, denn es gilt Rcc und not(Rf(c,c)c)
ii) Hier würd ich vlt. sogar sagen T = Leere Menge, weil dann gilt es ja für alle (keine :D bissi schwer zu erklären :P)
iii) entweder T= Leer oder wieder T= {c}, R = {(c,c)}

Was haltet ihr davon?

EDIT: Dürfen Herbrand Modelle eigentlich auch endlich sein?

fscheepy
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Re: Modelle bestimmter Länge / unendlich

Beitrag von fscheepy » 31. Aug 2011 14:13

eintopf hat geschrieben:Meine Lösungen diesbezüglich (WS05/06)

2) b)
i) Ich würde sagen T = {c} und R = {(c,c)}, dann ist die Formel in dem Modell erfüllend, denn es gilt Rcc und not(Rf(c,c)c)
ii) Hier würd ich vlt. sogar sagen T = Leere Menge, weil dann gilt es ja für alle (keine :D bissi schwer zu erklären :P)
iii) entweder T= Leer oder wieder T= {c}, R = {(c,c)}

Was haltet ihr davon?

EDIT: Dürfen Herbrand Modelle eigentlich auch endlich sein?
Es geht also darum, eine Interpretation der Relationen (und Funktionen?) zu finden?
i) Wie interpretiert man bei die Funktionen? Oder geht das wie im Herbrandmodell?
ii) könnte man erklären mit "für alle x gilt nicht:" = "es gibt kein x, für das gilt:" -> leere Menge (darf man die hier überhaupt verwenden?)
iii) Wieder die Frage, wie man hier die Funktion interpretiert (das muss man doch machen, oder nicht? Im Herbrandmodell haben wir die Funktion immer als "sich selbst" interpretiert, aber was heißt das? Was macht diese Funktion denn? Ist das überhaupt relevant?) und ob man die leere Menge verwenden darf. Ansonsten sieht T = {c} und R = {(c, c)} gut aus, aber muss T nicht immer aus allen Konstanten und beliebigen Funktionsanwendungen darauf bestehen, also {c, fcc, fcfcc,...}?

/edit: Bisher haben wir ja die Menge der Terme immer rekursiv definiert (wie ich oben schon erwähnt habe), also müssten die Modelle eigentlich immer unendlich sein...oder verstehe ich da etwas falsch?

/edit2: Wenn wir es gerade schon von der Klausur WS05/06 haben (auch, wenn das hier ein bisschen off topic ist):
Bei der Aufgabe 3)b) geht es ja um Aussagen unabhängig von den Formelmengen und der Interpretation. Heißt das jetzt bei der (ii), dass wir JEDE Interpretation oder EINE beliebige Interpretation betrachten? Wenn wir jede betrachten, ist die Aussage ja richtig (es gibt keine erfüllende Interpretation, also ist die Menge unerfüllbar), betrachten wir jedoch je eine beliebige Interpretation und erfüllt diese die Menge nicht, heißt das noch lange nicht, dass die Menge unerfüllbar ist. Ich gehe mal davon aus, dass es um eine beliebige Interpretation geht, aber ganz sicher bin ich mir doch nicht :?

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Re: Modelle bestimmter Länge / unendlich

Beitrag von eintopf » 31. Aug 2011 15:03

Ich denke es handelt sich um eine beliebige Interpretation, d.h. (ii) stimmt nicht, da man nicht von einer nicht erfüllenden Belegung direkt auf unerfüllbarkeit schließen kann.

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Re: Modelle bestimmter Länge / unendlich

Beitrag von eintopf » 31. Aug 2011 17:32

eintopf hat geschrieben:Dürfen Herbrand Modelle eigentlich auch endlich sein?
Ich beantworte die Frage nun mal selbst:
Ja! In der letzten Übung vom letzten mal (SS2010 - Übung 14) wurde sowas gemacht.

Nach wie vor interessant:
Kann man als Trägermenge die leere Menge nehmen?
Beispiel:
Formel: \(\forall x Px\), wobei P eine einfache Relation ist

würde ich nun eine Trägermenge = Leere Menge nehmen, dann würde Px doch für alle gelten, sind ja genau keine.

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Re: Modelle bestimmter Länge / unendlich

Beitrag von Ankou » 31. Aug 2011 18:02

Kann man als Trägermenge die leere Menge nehmen?
nö, nachzulesen in der Definition einer Struktur im Script.

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Re: Modelle bestimmter Länge / unendlich

Beitrag von eintopf » 31. Aug 2011 18:23

Ankou hat geschrieben:
Kann man als Trägermenge die leere Menge nehmen?
nö, nachzulesen in der Definition einer Struktur im Script.
Vielen Dank! Manchmal ist man blind ;)

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