Klausur SS08

Gnoll
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Klausur SS08

Beitrag von Gnoll »

Moin,

wie ists bei euch so gelaufen?
Ich bin der Meinung, dass die Klausur um einiges schwerer war, als die der letzten Semester.

Aufgabe 4 mit dem Herbrandmodell kam mir auch so noch nicht unter, wenn ich mich richtig erinnere. Von Aufgabe 5 mal ganz zu schweigen, wobei man die wahrscheinlich hätte schaffen können mit mehr Zeit.

Ich kann nur auf nicht all zu viel Punktabzug bei den gelösten hoffen :)

Osterlaus
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Re: Klausur SS08

Beitrag von Osterlaus »

Was? Ich fand sie toll. Habe nicht viel gelernt vorher, kam aber gut durch. Und mein heimlicher Wunsch wurde erfüllt: Durch die Klausur vom WS 06/07 kam ihc nich so gut durch, aber durch die vom letzten WS gefiel mir sehr gut. Und dann noch ein bisschen Sequenzenkalkül, fand ich echt gut ;)

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Red*Star
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Re: Klausur SS08

Beitrag von Red*Star »

Gnoll hat geschrieben: Ich bin der Meinung, dass die Klausur um einiges schwerer war, als die der letzten Semester.
Ich hab nur eine der genannten Klausuren als Vergleich, aber vom Gefühl her würde ich das auch so einschätzen.

Ansonsten:
Naja, die 5.... Hätte ich mit der nur *angefangen*... Stattdessen hab ich nach der 1. normal mit der 2.a weitergemacht, und mich erstmal total verzettelt. Die Box hab ich zumindest nicht rausbekommen, aber vielleicht war auch die Klauselmenge falsch. (Die 2.b hingegen war dann in ein paar Minuten fertig *rolleyes*... Sachen gibt's.) Trotzdem hab ich durch den Zeitverlust so Panik bekommen, dass ich danach erstmal überwiegend Mist gebaut habe...

Alles zusammen: Mies gelaufen. Unabhängig von meinem persönlichen Pech würde ich jedoch auch sagen, dass es etwas zu wenig Zeit war für die Aufgabenmenge. (Die maximale Punktzahl von 48 statt 60 Punkten bereits mit einbezogen in meine Bewertung.)
Was Sonnenschein für das schwarze Erdreich ist,
ist wahre Aufklärung für die Verwandten des Erdreichs.

- N.F.S. Grundtvig

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Tigger
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Re: Klausur SS08

Beitrag von Tigger »

Ich meine auch die Klausur war ein ganz schöner Brocken. Die Zeit war mehr als knapp bemessen. Ich hatte zuvor mehrere alte Klausuren gerechnet und konnte eigentlich immer alle 5 Aufgaben in 90 min bearbeiten. Bei dieser Klausur bin ich weit davon entfernt, obwohl ich nirgends größere Schwierigkeiten hatte. Das Niveau, ist meiner Meinung nach, im Vergleich zu den Klausuren gestiegen.

milde
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Re: Klausur SS08

Beitrag von milde »

Abwarten, abwarten. Auch ich hatte den Eindruck das es diesmal etwas schwerer war. Aber: Wenn man gemütlich ne Klausur zuhause rechnet, ist das immer was anderes. Ich komm bei Klausuren generel nicht klar mit der Zeit, also wars diesmal auch nicht so schlimm. Sie war eben so wie sie bewertet wird, gedacht ist das man 4 Aufgaben in der Zeit bearbeitet. D.h. aber auch, dass man nur 2 ganze Aufgaben zum bestehen braucht... :)

Was mich mal interessieren würde, hat irgendjemand die 5b verstanden?

Christoph-D
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Re: Klausur SS08

Beitrag von Christoph-D »

milde hat geschrieben:Was mich mal interessieren würde, hat irgendjemand die 5b verstanden?
War die 5b die folgende? (Aus dem Gedächtnis, also mehr oder weniger ungenau)

Betrachte die Signatur \(({<}, 0, S, G)\). Sei \(\Phi_0\) eine Formelmenge, die aussagt, dass < eine lineare Ordnung bezüglich der Nachfolgerfunktion S ist und dass 0 das kleinste Element ist. Sei G eine einstellige Relation. Zeigen Sie, dass nicht in jedem Modell gilt:
\(\Phi_0, G0, \forall x (Gx \rightarrow GSx) \models \forall x(Gx)\)
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milde
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Re: Klausur SS08

Beitrag von milde »

jap, das war sie wohl. Hab immer noch keine Ahnung um was es da geht, aber das ist auch glaub ich nicht so schlimm ;)

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Tigger
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Re: Klausur SS08

Beitrag von Tigger »

Als Tipp war noch der Hinweis auf Nichtstandartmodelle gegeben. Wenn ich mir das im Script so ansehe, könnt ich da vieleicht was draus basteln. Aber in der Klausur, wo eh schon Zeitdruck herrschte, war das unmöglich. Wir hatten dieses Thema auch nie in den Übungen. Möchte ma den Studenten sehen, der mir vor der Klausur was dazu hätte erzählen können. Fand ich nich ganz Fair, dass solche Details abefragt werden. Die alten Klausuren haben sich ja eigentlich auch immer aufs Wesentliche beschränkt.

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Re: Klausur SS08

Beitrag von Christoph-D »

Falls ich die Aufgabe richtig verstanden habe, ist da ein Modell gesucht, in dem das Induktionsprinzip der natürlichen Zahlen nicht gilt. Dafür kann man jedes Nicht-Standard-Modell der Arithmetik der natürlichen Zahlen verwenden, das steht im FO-Skript auf Seite 22 oben. Leider ist im Skript kein solches Modell explizit angegeben. In der Klausur hab ich die Aufgabe völlig falsch gelöst, das weiß ich inzwischen. Das war aber auch in den letzten 5 Minuten, da hab ich nur noch schnell was hingekritzelt. ;)

Funktionieren müsste es aber so, denk ich: Es ist klar, dass das gesuchte Modell echt größer als die natürlichen Zahlen sein muss. Und man kann es so bauen wie auf Seite 21 im FO-Skript angedeutet.
Die natürlichen Zahlen werden (zusammen mit S) von einem Element generiert, der 0. Jetzt kann man ein zweites Element dazunehmen, \(\infty\). Die Trägermenge wäre dann definiert als \(\mathbb{N} \cup X\) mit \(X = \{\infty + 0, \infty + 1, \infty + 2, \ldots\}\). Man interpretiert dann die Funktionen <, S auf \(\mathbb{N}\) wie gehabt, und für den Rest definiert man sich die so, dass man wieder eine lineare Ordnung bekommt:
\(n < x\) für alle \(n \in \mathbb{N}, x \in X\)
\(\infty + n < \infty + m\) für alle \(n < m\).
\(\neg x < y\) sonst für alle \(x, y \in X\), die bisher nicht erfasst wurden.
\(S(\infty + n) = \infty + m\) mit \(m = n + 1\).
\(Gx = 0\) genau dann wenn \(x \in X\).

Das entscheidende ist jetzt, dass G für alle "unendlich"-Werte nicht gilt, aber auf den natürlichen Zahlen gilt G. Und es gilt immer noch G0. Es gilt auch \(\forall x (Gx \rightarrow GSx)\), denn wenn Gx für irgendeine Zahl gilt (aus \(\mathbb{N}\) oder aus X), dann ist gilt auch GSx. Das folgt daraus, dass \(\infty + 0\) keinen direkten Vorgänger hat. Weil < immer noch eine lineare Ordnung ist, gilt auch noch \(\Phi_0\). Also erfüllt das Modell alle Voraussetzungen, erfüllt aber nicht \(\forall x (Gx)\). Also ist
\(\Phi_0, G0, \forall x (Gx \rightarrow GSx) \models \forall x(Gx)\)
nicht allgemeingültig.
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Re: Klausur SS08

Beitrag von Steven »

Die Lösung von Christoph-D sieht ziemlich gut aus. Ich denke der Trick besteht darin, dass es mit der Nachfolgerrelation unerreichbare Werte gibt (wie hier das "unendlich"). Diese Elemente sind Teil der Trägermenge (werden also vom Allquantor erfasst), aber niemals durch Aufzählung (und damit durch die Induktionsfolge) erreicht - es gibt kein x sodass x != unendlich aber x + 1 = unendlich. In der Klausur habe ich das aus Zeitmangel aber auch nicht mehr hinbekommen.

Den Schwierigkeitsgrad der Klausur fand ich in Ordnung, es war nichts dabei, das in diesem Sinne nicht zu machen war. Die Zeit war aber in der Tat reichlich knapp bemessen - ein Beispiel ist da die Aufgabe 3b.2, die Ableitung der 2. Formel im Sequenzenkalkül. Das war zwar einfach, hat aber viel Papier und damit auch Zeit gekostet.

yourmaninamsterdam
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Re: Klausur SS08

Beitrag von yourmaninamsterdam »

Steven hat geschrieben:der Trick besteht darin, dass es mit der Nachfolgerrelation unerreichbare Werte gibt
Ich bin da grad nicht so drin, denn ich habe die Klausur nicht mitgeschrieben, daher kurze Frage dazu: Ist es überhaupt notwendig, auf die "zusätzlichen" Elemente eine Ordnung im eigentlichen Sinne (also \(\infty, \infty+1, \infty+2, ...\)) zu definieren, oder kommt man auch mit einem Element (also z. B. nur \(\infty\)) aus, das nicht von der Nachfolgerfunktion mit aufgespannt wird?

Christoph-D
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Re: Klausur SS08

Beitrag von Christoph-D »

yourmaninamsterdam hat geschrieben:
Steven hat geschrieben:der Trick besteht darin, dass es mit der Nachfolgerrelation unerreichbare Werte gibt
Ich bin da grad nicht so drin, denn ich habe die Klausur nicht mitgeschrieben, daher kurze Frage dazu: Ist es überhaupt notwendig, auf die "zusätzlichen" Elemente eine Ordnung im eigentlichen Sinne (also \(\infty, \infty+1, \infty+2, ...\)) zu definieren, oder kommt man auch mit einem Element (also z. B. nur \(\infty\)) aus, das nicht von der Nachfolgerfunktion mit aufgespannt wird?
Genau das habe ich in der Klausur geschrieben: Nur \(\infty\) dazunehmen und sonst nichts.

Dieser Ansatz scheitert hier an der Forderung, dass < eine lineare Ordnung bzgl. S ist. Inbesondere gilt also
\(\forall x (x < Sx)\)
Und weil außerdem \(\forall x (\neg (x < x))\) gilt, muss \(\infty \neq S\infty\) und \(\infty < S\infty\) sein. Das lässt sich nicht erreichen, wenn man nur \(\infty\) und sonst nichts dazunimmt.


Eine alternative Lösungsmöglichkeit wäre übrigens \(\mathbb{N}^2\) zu nehmen, denke ich:
Interpretation der 0 ist (0, 0).
(m, n) < (k, s) genau dann wenn (m < k) oder (m = k und n < s) (also eine lexikografische Ordnung).
S(m, n) = (m, n + 1) für alle m, n
G(m, n) = 1 für m = 0
G(m, n) = 0 für m > 0
Spart vielleicht etwas Schreibarbeit bei der Definition der Funktionen.
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yourmaninamsterdam
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Re: Klausur SS08

Beitrag von yourmaninamsterdam »

Christoph-D hat geschrieben: Dieser Ansatz scheitert hier an der Forderung, dass < eine lineare Ordnung bzgl. S ist. Inbesondere gilt also
\(\forall x (x < Sx)\)
Ah, ich verstehe. Interessante Aufgabe jedenfalls...

Gnoll
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Re: Klausur SS08

Beitrag von Gnoll »

yourmaninamsterdam hat geschrieben: Interessante Aufgabe jedenfalls...
Das triffts ganz gut :wink:

mariusssl
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Re: Klausur SS08

Beitrag von mariusssl »

*kopfkratz* :shock:

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