Gruppenordnung

Benutzeravatar
GK
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 41
Registriert: 16. Nov 2005 19:48
Wohnort: Darmstadt

Gruppenordnung

Beitrag von GK »

Hat jemand vielleicht eine Idee, was genau wir bei der Gruppenordnung wissen sollen?

in den alten Klausuren gab es schon einige Fragen dazu...

Danke :)

Benutzeravatar
giftnudel
BASIC-Programmierer
BASIC-Programmierer
Beiträge: 112
Registriert: 3. Mai 2005 11:26

Beitrag von giftnudel »

Ich vermute mal Lagrange, kleiner Satz von Fermat, Untergruppen und wie so eine Gruppenordnung definiert ist sind die gängigen Sachen wenn es z.B. um Restklassenringe Z mod n geht.

(Ich habe keine Ahnung worüber die Vorlesung geht, aber es hört sich sehr nach kryptographischem Zeug an, wo meine Antwort in jedem Fall sinnvoll ist)

Richie
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 92
Registriert: 25. Okt 2005 13:03
Wohnort: Darmstadt
Kontaktdaten:

Beitrag von Richie »

oh, bin schon erschrocken
Lagrange, kleiner Satz von Fermat, Untergruppen... war eigentlich alles nicht dran...
was war denn an Gruppenordnung großartig dran?
There are only 10 types of people in the world:
Those who understand binary and those who don't

Benutzeravatar
giftnudel
BASIC-Programmierer
BASIC-Programmierer
Beiträge: 112
Registriert: 3. Mai 2005 11:26

Beitrag von giftnudel »

Naja, wenn das nicht dran war, dann kann auch nicht so viel dran gewesen sein (denn das ist gar nicht so schlimm wie es sich anhört)

'Tschuldigung für das Erschrecken ;)

Benutzeravatar
junin
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 51
Registriert: 2. Mai 2006 22:44
Kontaktdaten:

Beitrag von junin »

Was willst du denn wissen zur Gruppenordnung? Ordnung einer Gruppe ist doch einfach die Anzahl ihrer Elemente. Bei uns ging es hauptsächlich um die Eulersche phi Funktion, welche dir die Ordnung einer primen Restklassengruppe zurückgibt, also die Anzahl der invertierbaren Elemente.

Benutzeravatar
GK
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 41
Registriert: 16. Nov 2005 19:48
Wohnort: Darmstadt

Beitrag von GK »

Kannst Du vlt genauer sagen ?

Benutzeravatar
junin
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 51
Registriert: 2. Mai 2006 22:44
Kontaktdaten:

Beitrag von junin »

Beispiel: Gruppe Z/mZ = Z/9Z:
Die Gruppenordnung ist 9, da die Elemente 0,1,2, ..., 8 enthalten sind.
Die Ordung von der primen Restklassengruppe (Z/mz)* = (Z/9Z)* wäre 6, da 9*2/3 = 6 (siehe phi Funktion) {1,2,4,5,7,8}

Benutzeravatar
GK
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 41
Registriert: 16. Nov 2005 19:48
Wohnort: Darmstadt

Beitrag von GK »

dann sag mir Bitte die Ordnung von:

z/53z

Benutzeravatar
junin
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 51
Registriert: 2. Mai 2006 22:44
Kontaktdaten:

Beitrag von junin »

die Ordnung phi von Z/53Z ist p-1 = 53-1 = 52, da 53 eine Primzahl ist. Alternativ: 53*52/53 = 52 (phi Funktion)

Benutzeravatar
H2k
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 50
Registriert: 27. Okt 2004 16:48
Wohnort: Langen
Kontaktdaten:

Beitrag von H2k »

und wie ist das in der Übung 6 Aufgabe 3 mit der Ordnung von Gruppenelementen gemeint...
wie kommt man da auf die Ordnung? z.b. von 2

Benutzeravatar
GK
Windoof-User
Windoof-User
Beiträge: 41
Registriert: 16. Nov 2005 19:48
Wohnort: Darmstadt

Beitrag von GK »

wie H2k auch geschrieben hat:

sagen wir mal, die Ordnung der Gruppe Z/53Z ist Phi(53) = 52.

welche Ordnung hat die Restklasse von 2 in dieser Gruppe ?

Benutzeravatar
junin
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 51
Registriert: 2. Mai 2006 22:44
Kontaktdaten:

Beitrag von junin »

hab jetzt die Aufgabe nicht da, aber die Elementordnung ist immer das kleineste e, für welches in deinem Fall 2^e = 1 ist. Die Elementordung teil immer die Gruppenordnung, somit nimmst du dir einfach alle Teiler der Gruppenordung und probiert aus, welcher (also möglich klein) passt. Also in dem Fall wären Teiler von 52, die 2, 13, 26 und 52.
2^2 = 4 nö
2^13 = 30 mod 53 nö
2^26 = 52 mod 53 nö
2^52 = 1 ja, Elementodrung = Gruppenordung bedeuted das 2 ein Erzeuger der Gruppe ist.
Zuletzt geändert von junin am 12. Mär 2007 15:55, insgesamt 1-mal geändert.

Benutzeravatar
H2k
Mausschubser
Mausschubser
Beiträge: 50
Registriert: 27. Okt 2004 16:48
Wohnort: Langen
Kontaktdaten:

Beitrag von H2k »

also ausprobieren statt ausrechnen ? gut dass wollte ich wissen :)
ich dachte schon, man müsste da mit log oder so rechnen...

Benutzeravatar
giftnudel
BASIC-Programmierer
BASIC-Programmierer
Beiträge: 112
Registriert: 3. Mai 2005 11:26

Beitrag von giftnudel »

Übrigens ist "Untergruppenordnungen teilen immer die Gruppenordnung" der Satz von Lagrange und g^phi(m) = 1 für alle g in Z/mZ der kleine Fermat. Zur Überprüfung der Gruppenordnung reicht es auch ein k mit g^k = -1 mod n zu finden (so wie oben 2^26 = 52 = -1 mod 53), dann ist die Ordnung des Elementes g = 2*k. Das kann man beweisen, stimmt aber auch ohne Beweis ;)

Antworten

Zurück zu „Archiv“