Definition von Zn

tigris
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Definition von Zn

Beitrag von tigris » 25. Dez 2009 20:40

Hallo,
ich arbeite gerade nochmal die Folien nach und habe nach wie vor eine Schwierigkeit mit Zn.
Hier die Definition aus den Folien: Die Menge der Äquivalenzklassen von = bezüglich n heißt Zn.
Ok, jetzt stelle ich mir das aber so vor: Wir haben eine Menge von Mengen, denn eine Äquivalenzklasse ist ja bereits eine Menge. Jetzt nehmen wir aber die Menge der Äquivalenzklassen, also haben wir doch eine Menge von Mengen.
Die einfachere Sichtweise aus den Folien ist aber: Zn = {0,1,...n-1}, also eine einfache Menge und keine Menge von Mengen.
Im Internet konnte ich die folgende intuitiv zu verstehende Definition finden: Zn ist die Menge der Reste bei der Division durch n.
Das deckt sich ja auch mit Zn = {0,1,...n-1}. Es scheint also zu stimmen. Aber dann versteh ich wie schon gesagt nicht die ursprüngliche Definition von Zn.
Mir würde es schon helfen, wenn jemand die Definition aus den Folien mal formal aufschreiben könnte. Also Zn = {?|?}
In diesem Zusammenhang könnte ich dann vielleicht auch verstehen wie ein Element aus Zn zu deuten ist, denn das scheint ja laut intuitiver Definition schlichtweg eine netürliche Zahl zu sein. Nur dann wiederum verstehe ich nicht, warum es sich bei (Zn,+) um eine Gruppe handelt, denn für die dritte Anforderung an eine Gruppe ("Für jedes x€M gibt es ein y€M mit x*y=1") bräuchte ich doch dann negative ganze Zahlen, die aber wiederum nicht in Zn enthalten sind.
Danke im Voraus für eure Hilfe.

PS: Für die gemogelte Darstellung des Elementzeichens und dem Gleich mit drei Strichen: Sry! Ihr könnt mir aber gerne verraten wie man das hier richtig im Forum eingegeben bekommt.

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Re: Definition von Zn

Beitrag von Demmi » 25. Dez 2009 20:50

Zunächst zur Darstellung:
\(a\equiv b\bmod N\)
\(a\in \mathbb N\)

Code: Alles auswählen

[tex]a\equiv b\bmod n[/tex]
[tex]a\in \mathbb N[/tex]
Dann ganz kurz zu \(\mathbb Z_n\): Soweit ich das verstanden habe, sind in \(\mathbb Z_n\) einfach alle natürlichen Zahlen von 0 bis n-1.
Saying that Java is nice because it works on all Plattforms is like saying that anal sex is nice because it works on all genders.

tigris
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Re: Definition von Zn

Beitrag von tigris » 25. Dez 2009 21:29

Super, vielen Dank erstmal für die schnelle Hilfe mit der Darstellung. Kannst du mir sagen wo ich eine Referenz zu den Zeichen finde? Soweit ich gehört habe ist das ja kein gewöhnliches Tex hier, oder?
Zu deiner Deutung, das ist schon richtig, dass man sich das so merken kann, aber ich würde auch gerne verstehen warum man sich das derartig vorstellen kann.

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Re: Definition von Zn

Beitrag von Christoph-D » 25. Dez 2009 21:31

tigris hat geschrieben:Hallo,
ich arbeite gerade nochmal die Folien nach und habe nach wie vor eine Schwierigkeit mit Zn.
Hier die Definition aus den Folien: Die Menge der Äquivalenzklassen von = bezüglich n heißt Zn.
Ok, jetzt stelle ich mir das aber so vor: Wir haben eine Menge von Mengen, denn eine Äquivalenzklasse ist ja bereits eine Menge. Jetzt nehmen wir aber die Menge der Äquivalenzklassen, also haben wir doch eine Menge von Mengen.
Die einfachere Sichtweise aus den Folien ist aber: Zn = {0,1,...n-1}, also eine einfache Menge und keine Menge von Mengen.
Im Internet konnte ich die folgende intuitiv zu verstehende Definition finden: Zn ist die Menge der Reste bei der Division durch n.
Das deckt sich ja auch mit Zn = {0,1,...n-1}. Es scheint also zu stimmen. Aber dann versteh ich wie schon gesagt nicht die ursprüngliche Definition von Zn.
Mir würde es schon helfen, wenn jemand die Definition aus den Folien mal formal aufschreiben könnte. Also Zn = {?|?}
Hier wird eine Idee angewendet, die in der Mathematik überall auftaucht: "Eindeutig bis auf Isomorphie".

Du kannst Z_n als Menge von Äquivalenzklassen definieren, das wäre dann konkret für Z_2 zum Beispiel die Äquivalenz-Klassen-Gruppe:
\(\mathbb{Z}_2 = \bigl\{ \{\text{gerade Zahlen aus $\mathbb{Z}$}\}, \{ \text{ungerade Zahlen aus $\mathbb{Z}$} \} \bigr\},\)
wobei + und - passend definiert sind (das geht über Repräsentanten, steht bestimmt im Skript, wie das geht).

Weil das so furchtbar unhandlich ist, nennt man die Elemente von Z_2 lieber 0 und 1. Dabei sind "0" und "1" erstmal nur völlig willkürliche Namen, man könnte die beiden Elemente genausogut "piloty" und "hexagon" nennen. Jetzt muss man aber für eine Gruppe noch definieren, was + und - machen sollen. Das kann man über eine Tabelle machen, in der für jede Kombination von a und b steht, was a+b und was -a ergibt.

Wenn man aber für die Elemente schon die sehr suggestiven Namen "0" und "1" gewählt hat, kann man sich diese Tabelle sparen und sich auf die Rechenoperationen der natürlichen Zahlen beziehen, mit nachträglichem "modulo 2". Das ist eigentlich der ganze Trick dahinter. Die Gruppe mit 0 und 1, die man so bekommt, ist isomorph zu der Äquivalenzklassen-Gruppe von oben, deswegen darf man das.

Die Idee ist, dass die Gruppe "Z_2" nur eindeutig bis auf Isomorphie ist. Wenn du eine andere Gruppe hast, die genau 2 Elemente besitzt und sich genauso verhält wie die Äquivalenz-Klassen-Gruppe, dann kannst du die mit dem gleichen Recht "Z_2" nennen wie die Äquivalenz-Klassen-Gruppe.
tigris hat geschrieben:In diesem Zusammenhang könnte ich dann vielleicht auch verstehen wie ein Element aus Zn zu deuten ist, denn das scheint ja laut intuitiver Definition schlichtweg eine netürliche Zahl zu sein.
Ein Element aus Z_n ist keine natürliche Zahl. Man benennt die Elemente aber fast immer mit natürlichen Zahlen, weil es dann sehr einfach wird, + und - richtig zu definieren. Außerdem wird es z.B. viel einfacher, Z_n in einem Computerprogramm zu verwenden, wenn man die Elemente nach natürlichen Zahlen benennt.
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Re: Definition von Zn

Beitrag von l_murati » 25. Dez 2009 21:37

Im Cormen, Seite 853 steht noch was dazu. ;)

Gruß

tigris
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Re: Definition von Zn

Beitrag von tigris » 25. Dez 2009 21:39

Super, das war doch eine sehr schöne und nachvollziehbare Erklärung. Danke.
Aber wieso ist dann (\(\mathbb Z_n\),+) eine Gruppe.
Also was ist in diesem Fall konkret das erforderliche \(1 \in M\), so dass wir hier von einer Gruppe sprechen können?

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Re: Definition von Zn

Beitrag von Christoph-D » 25. Dez 2009 22:32

tigris hat geschrieben:Aber wieso ist dann (\(\mathbb Z_n\),+) eine Gruppe.
Das zeigst du, indem du die Gruppenaxiome nachrechnest und prüfst, ob die alle gelten. Das + in (\(\mathbb{Z}_n, {+})\) ist natürlich nicht das + auf den natürlichen Zahlen. Deswegen ist es vielleicht verwirrend, diese Operation auch + zu nennen, aber das ist halt so üblich.

Wenn man die Elemente von \(\mathbb{Z}_n\) jetzt \({0,1,2,\ldots,n-1}\) nennt, dann ist das + in \(\mathbb{Z}_n\) schon fast wieder das + auf den natürlichen Zahlen, nur mit einem zusätzlichen "modulo n" dahinter. Deswegen nennt man das wahrscheinlich so.
tigris hat geschrieben:Also was ist in diesem Fall konkret das erforderliche \(1 \in M\), so dass wir hier von einer Gruppe sprechen können?
Das neutrale Element in Z_n ist "0". Das ist wieder ein Fall für "eindeutig bis auf Isomorphie": Man kann die Elemente immer so umbenennen, dass das neutrale Element "1" heißt. Aber das ist bei endlichen Gruppen meistens unpraktisch, weil dadurch nur die Schreibweise komplizierter wird.

Konvention ist, dass das neutrale Gruppenelement bei + oft 0 und bei \(\cdot\) (das ist der Multiplikationspunkt) oft 1 heißt. Pflicht ist das nicht, aber es ist naheliegend, weil es auf den üblichen Gruppen wie \((\mathbb{Z}, {+})\) und \((\mathbb{R_{{}>0}}, {\cdot})\) so ist.
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