Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

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DominikSchreiber
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Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von DominikSchreiber »

Hallo!

Ich arbeite mich gerade noch mal durch die Fourier-Folien und bin bei der folgenden Gleichung (Foliensatz 3, Folie 47) auf einige Fragen gestoßen: \(\dots = \sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}+\frac{a_n-ib_n}{2}e^{-inx}\right) = \sum_{-\infty}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}\right)\)

Hier mein erstes Problem: wie kommt man von \(\sum_{n=0}^{\infty}\dots\) nach \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\dots\)? Bei \(n~!\neq 0\) verstehe ichs, da wird einfach die Summe aufgeteilt. Aber bei \(n=0\) kriege ich auf der einen Seite \(\frac{a_0-ib_0}{2}e^{i0x}+\frac{a_0-ib_0}{2}e^{-i0x} = \frac{a_0-ib_0}{2}e^0 + \frac{a_0-ib_0}{2}e^{-0} = \frac{a_0-ib_0}{2}\cdot 1 + \frac{a_0-ib_0}{2}\cdot 1 = a_0-ib_0\) und auf der anderen \(\frac{a_0-ib_0}{2}e^{i0x} = \frac{a_0-ib_0}{2}\), wobei im Allgemeinen \(a_0-ib_0~!\neq \frac{a_0-ib_0}{2}\). Was übersehe ich? Müsste zum ganzen \(f(x)\) nicht noch ein \(\frac{a_0-ib_0}{2}\) addiert werden? (bei mir rendert jsMath \neq als = was wirklich unsinnig ist, daher das ! davor, dann siehts wenigstens wie beim Programmieren aus :) )

Mein zweites Problem (und das ist wesentlich schlimmer, denn wenn ich da meinen Denkfehler nicht finde haut alles vorher schon nicht hin): \(a_n\) und \(b_n\) berechnen sich mit folgenden Formeln (Foliensatz 3, Folien 29-30): \(a_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \cos(nx) dx, b_n =\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx\). Bei \(a_n\) ist es wurst, ob ich \(n\) oder \(-n\) verwende (denn wenn ich von \(\sum_{n=0}^{\infty}\dots\) nach \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\dots\) gehe mache ich ja genau das ... jeweils ein mal), weil der Kosinus gerade ist (also \(\cos(x) = \cos(-x)\)). Aber bei \(b_n\) ist es absolut nicht egal, denn der Sinus ist ungerade (\(\sin(x) = -\sin(-x)\)). Ich kriege also \(b_n = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) \sin(nx) dx\) und \(b_{-n} = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin(-nx) dx = \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x) (-\sin(nx)) dx = -\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx) dx = -b_n\). Wenn das aber so stimmt, dann kann ich die Summe gar nicht mehr aufteilen, weil ich für \(n\) ja ein anderes \(b\) bekomme als für \(-n\). Und dann geht die ganze Umformung nicht.

Ich wäre froh wenn mir jemand mit meinen Problemen helfen könnte / mir meinen Fehler zeigen.

Liebe Grüße
Dominik
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rist
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Re: Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von rist »

Hallo Dominik,

welche Umformungen meinst du denn, die dann nicht mehr gehen sollen?
Die Summen werden doch immer nur aufgeteilt einmal von -pi bis 0 und einmal von 0 bis pi. (Siehe 32-33)

PS an die Fachschaft:
jsMath can't load the file 'http://www.fachschaft.informatik.tu-dar ... pha/def.js'
Error status: 404

Grüße,
Richard

Michael.R
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Re: Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von Michael.R »

rist hat geschrieben:PS an die Fachschaft:
jsMath can't load the file 'http://www.fachschaft.informatik.tu-dar ... pha/def.js'
Error status: 404
Fixed, danke.
Generell ist für sowas eine Meldung unter Forumsanregungen oder Forum@d120.de hilfreich, damits nicht in irgendeinem Thread untergeht ;-)

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DominikSchreiber
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Re: Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von DominikSchreiber »

rist hat geschrieben:welche Umformungen meinst du denn, die dann nicht mehr gehen sollen?
Die Summen werden doch immer nur aufgeteilt einmal von -pi bis 0 und einmal von 0 bis pi. (Siehe 32-33)
Die Umformung meine ich auch nicht. Sondern die Umformumg von ganz am Anfang: \(\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx} + \frac{a_n-ib_n}{2}e^{-inx}\right) = \sum_{-\infty}^{\infty} \left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}\right)\)

Wenn ich mir das ausschreibe sieht das ja wie folgt aus: \(\left(\frac{a_0-ib_0}{2}e^{i0x} + \frac{a_0-ib_0}{2}e^{-i0x}\right) + \left(\frac{a_1-ib_1}{2}e^{i1x} + \frac{a_1-ib_1}{2}e^{-i1x}\right) + \dots = a_0-ib_0 + \frac{a_1-ib_1}{2}e^{ix} + \frac{a_1-ib_1}{2}^{-ix} + \dots\) auf der linken Seite und auf der Rechten \(\dots + \frac{a_{-1}+ib_{-1}}{2}e^{i(-1)x} + \frac{a_0+ib_0}{2}e^{i0x} + \frac{a_1+ib_1}{2}e^{i1x} + \dots = \dots + \frac{a_{-1}+ib_{-1}}{2}e^{-ix} + \frac{a_0+ib_0}{2} + \frac{a_1+ib_1}{2}e^{ix} + \dots\). Wenn immer \(a_n = a_{-n}, b_n = b_{-n}\), dann ist es außer bei \(n=0\) gleich. Aber im ersten Post habe ich ja begründet, warum ich denke, dass genau das nicht der Fall ist.
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DominikSchreiber
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Re: Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von DominikSchreiber »

Niemand eine Idee?
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kuijper
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Re: Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von kuijper »

Hallo Dominik,
Gute Frage! :)
Die Lösung liegt in Folie 22: b_0 == 0 (ist gibt nur ein Koeffizient für Verschiebung).
Dann lässt sich die summe aufteilen in a_0 und ein Teil n=1 bis \infty.
dann für n -> -n folgt dass a_n = a_{-n}, und b_{-n} = -b_n ), so das die integrale wieder stimmen (teil 2).
Weiter gibt es tatsächlich ein Fehler: 3. zeile soll es ein (a_n+ib_n)/2 . e^-inx sein.
Dan kann man in dieses teil n-> -n machen und and diese summe von -\infty bis 0 teil.

Ich werde die Folie verbessern - Danke und Entschuldigung für die Verwirrung!

Grüße,
Arjan

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DominikSchreiber
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Re: Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von DominikSchreiber »

Vielen Dank für Ihre Antwort!

Meine erstes Problem ist damit aber nicht behoben: auch wenn \(b_0 = 0\) kriege ich auf der einen Seite \(a_0\) und auf der anderen \(\frac{a_0}{2}\). Es sieht doch so aus:
\(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx}\right) = \frac{a_0+ib_0}{2}e^{0} + \frac{a_0+ib_0}{2}e^{0} + \dots = \frac{a_0}{2} + \frac{a_0}{2} + \dots = a_0 + \dots\) vor dem Schritt von \(\sum_{n=0}^{\infty}\) nach \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\) und danach:
\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}\right) = \dots + \frac{a_0+ib_0}{2}e^{0} + \dots = \dots + \frac{a_0}{2} + \dots\).
Die Berechnung von \(a_0\) hatten wir auf Folie 28 festgelegt, die kann man meiner Meinung nach nicht ändern, dass \(a_0 = \frac{a_0}{2}\) gilt. Was übersehe ich?

Mein zweites Problem haben Sie wunderbar gelöst, vielen Dank.

Vielleicht könnten Sie auf Folie 22 deutlicher hervorheben, dass \(b_0 = 0\) gewählt wird. Derzeit wird ja damit argumentiert, dass ohnehin \(\sin(0) = 0\) und dass deswegen \(b_n\) wegfällt. Das tut es aber auch wenn es nicht \(0\) ist.

Liebe Grüße
Dominik
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kuijper
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Re: Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von kuijper »

DominikSchreiber hat geschrieben:Vielen Dank für Ihre Antwort!

Meine erstes Problem ist damit aber nicht behoben: auch wenn \(b_0 = 0\) kriege ich auf der einen Seite \(a_0\) und auf der anderen \(\frac{a_0}{2}\). Es sieht doch so aus:
\(\sum_{n=0}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}+\frac{a_n+ib_n}{2}e^{-inx}\right) = \frac{a_0+ib_0}{2}e^{0} + \frac{a_0+ib_0}{2}e^{0} + \dots = \frac{a_0}{2} + \frac{a_0}{2} + \dots = a_0 + \dots\) vor dem Schritt von \(\sum_{n=0}^{\infty}\) nach \(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\) und danach:
\(\sum_{n=-\infty}^{\infty}\left(\frac{a_n-ib_n}{2}e^{inx}\right) = \dots + \frac{a_0+ib_0}{2}e^{0} + \dots = \dots + \frac{a_0}{2} + \dots\).
Die Berechnung von \(a_0\) hatten wir auf Folie 28 festgelegt, die kann man meiner Meinung nach nicht ändern, dass \(a_0 = \frac{a_0}{2}\) gilt. Was übersehe ich?
Das die Reihe oben an der Folie definiert ist; das \(b_0=0\) folgt dann aus der Definition. Eigentlich fangt die Reihe an bei \(n=1\). Die rot-umgebene Formel ist kompakter - aber für das Beweis nicht so geeignet!
Mein zweites Problem haben Sie wunderbar gelöst, vielen Dank.

Vielleicht könnten Sie auf Folie 22 deutlicher hervorheben, dass \(b_0 = 0\) gewählt wird. Derzeit wird ja damit argumentiert, dass ohnehin \(\sin(0) = 0\) und dass deswegen \(b_n\) wegfällt. Das tut es aber auch wenn es nicht \(0\) ist.

Liebe Grüße
Dominik
Ich überarbeite die Folie sicher noch diese Tage - Problem ist dass wann Anfang & Ende bekannt sind, das mittlere Teil weniger gut kontrolliert wird :(
Jedenfalls folgt "\(b_0=0\)" aus den oberen Formel.

Beste Grüße
Arjan Kuijper

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DominikSchreiber
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Re: Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von DominikSchreiber »

kuijper hat geschrieben:Eigentlich fangt die Reihe an bei \(n=1\).
:idea: aaaha (das hatte ich, scheint mir, wirklich übersehen :oops: ) . Damit macht alles Sinn :). Ok, vielen vielen Dank.
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igor.a
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Re: Fourier-Reihe mit komplexen Zahlen

Beitrag von igor.a »

Tut mir leid, dass ich einen "alten" Thread ausgrabe, ich möchte nur darauf hinweisen, dass die Folie immer noch nicht aktualisiert worden ist. ;)

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